Question

6．如圖所示，在某豎直平面內(nèi)，光滑曲面AB與水平面BC平滑連接于B點，BC右端連接一口深為H，寬度為d的深井CDEF，一個質(zhì)量為m的小球放在曲面AB上，可從距BC面不同的高度處靜止釋放小球，已知BC段長L，小球與BC間的動摩擦因數(shù)為μ，取重力加速度g=10m/s²，則：
（1）若小球恰好落在井底E點處，求小球釋放點距BC面的高度h₁；
（2）若小球不能落在井底，求小球打在井壁EF上的最小動能E_kmin和此時的釋放點距BC面的高度h₂．

Answer 1

分析 （1）從A到C對小球運(yùn)用動能定理，小球從C點開始做平拋運(yùn)動，運(yùn)用平拋運(yùn)動的規(guī)律，聯(lián)立即可求出小球釋放點距BC面的高度h₁；
（2）從A到C對小球運(yùn)用動能定理，求出小球打中井壁EF上的動能Ek，運(yùn)用數(shù)學(xué)基本不等式求其最小值，即可求出高度h₂滿足的條件．

解答 解：（1）從A到C對小球運(yùn)用動能定理可得：mgh₁-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-0…①
小球從C到E根據(jù)平拋規(guī)律有：d=v_Ct…②
H=$\frac{1}{2}{gt}^{2}$…③
聯(lián)立①②③式可得：h₁=$\frac{lzj7tll^{2}}{4H}+μL$
（2）從A到C對小球運(yùn)用動能定理可得：mgh₂-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-0…④
設(shè)小球從C到井壁EF的過程中豎直方向的位移為H′，根據(jù)平拋規(guī)律有：d=v_Ct，v_y=gt=g•$\fracfrj5fxf{{v}_{C}}$
打在井壁EF上的速度：v=$\sqrt{{v}_{C}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
小球打在井壁EF上的動能：E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
聯(lián)立可得：E_k=$\frac{1}{2}$m（${v}_{C}^{2}$+$\frac{{g}^{2}dzrb75f^{2}}{{v}_{C}^{2}}$）
根據(jù)數(shù)學(xué)知識可知：${v}_{C}^{2}$與$\frac{{g}^{2}rjdvvvp^{2}}{{v}_{C}^{2}}$的乘積為定值g²d²，故（${v}_{C}^{2}$+$\frac{{g}^{2}b7dffnv^{2}}{{v}_{C}^{2}}$）有最小值，
當(dāng)且僅當(dāng)：${v}_{C}^{2}$=$\frac{{g}^{2}nrdpztt^{2}}{{v}_{C}^{2}}$時，（${v}_{C}^{2}$+$\frac{{g}^{2}rnpt5nv^{2}}{{v}_{C}^{2}}$）取最小值，即：${v}_{C}^{2}$=gd⑤
此時E_K取最小值：E_kmin=$\frac{1}{2}$m（${v}_{C}^{2}$+$\frac{{g}^{2}rn77d5x^{2}}{{v}_{C}^{2}}$）=mgd=10md
聯(lián)立④⑤式可得：h₂=$\fracpnprjzz{2}+L$
答：（1）若小球恰好落在井底E點處，求小球釋放點距BC面的高度h₁為$\frac{hdfz5h7^{2}}{4H}+μL$；
（2）若小球不能落在井底，小球打在井壁EF上的最小動能E_kmin為10md和此時的釋放點距BC面的高度h₂為$\frac7jbbddn{2}+L$．

點評 本題考查動能定理的綜合運(yùn)用，難點在于數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用，解題關(guān)鍵是要分好過程，明確每一個過程的運(yùn)動形式，選擇合適的規(guī)律解決，第二問求動能最小值用到數(shù)學(xué)的基本不等式，是一道數(shù)學(xué)在物理上的應(yīng)用問題．