Question

9．圖中左邊有一對平行金屬板，板間加有恒定電壓；兩板之間有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，方向平行于板面并垂直于紙面向里；金屬板右下方以MN、PQ為上、下邊界，MP為左邊界的區(qū)域內(nèi)，存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁場寬度為d，MN與下極板等高，MP與金屬板右端在同一豎直線．一電荷量為q、質(zhì)量為m的正離子，以初速度v₀沿平行于金屬板面、垂直于板間磁場的方向從A點(diǎn)射入金屬板之間，不計(jì)重力．
（1）已知離子恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求金屬板間電場強(qiáng)度的大小和方向．
（2）若撤去板間磁場B₀，已知離子恰好從下極板的右側(cè)邊緣射出電場，方向與水平方向成30°角，求A點(diǎn)離下極板的高度．
（3）在（2）的情形中，為了使離子進(jìn)入磁場運(yùn)動(dòng)后從邊界MP射出且在NMPQ區(qū)域的磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)為多大？

Answer 1

分析 （1）離子做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場力和洛侖茲力二力平衡，根據(jù)平衡條件列式，即可求解電場強(qiáng)度的大小，由左手定則判斷出洛茲力的方向，即可確定電場強(qiáng)度的方向；
（2）撤去板間磁場B₀，離子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，平行于極板做勻速直線運(yùn)動(dòng)，垂直于極板做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)速度的分解求出離子從M點(diǎn)射出電場時(shí)的速度，由動(dòng)能定理求解A點(diǎn)離下極板的高度；
（3）根據(jù)題意畫出離子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)求出軌跡半徑，再由洛倫茲力提供向心力，列式求解B．

解答 解：（1）設(shè)板間的電場強(qiáng)度為E，離子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受到的電場力和洛倫茲力平衡，有qE=qv₀B₀
解得 E=v₀B₀…①
由左手定則可判斷出洛倫茲力方向向上，所以電場力向下，故場強(qiáng)的方向向下．
（2）設(shè)A點(diǎn)離下極板的高度為h，離子射出電場時(shí)的速度為v，根據(jù)動(dòng)能定理得$qE•h=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_0^2$…②
離子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平分運(yùn)動(dòng)是勻速運(yùn)動(dòng)，故有：$v=\frac{v_0}{cos30°}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}{v_0}$…③
聯(lián)立①②③式解得：$h=\frac{{m{v_0}}}{{6q{B_0}}}$…④
（3）離子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，用r表示軌跡半徑，根據(jù)牛頓第二定律得：$qvB=m\frac{v^2}{r}$
解得 $r=\frac{mv}{qB}$…⑤
周期為 $T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$⑥
從邊界MP射出的離子，圓弧軌跡對應(yīng)的圓心角均為θ=120°，離子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$t=\frac{T}{3}$，
從⑤⑥兩式可知，B減小，T、r都增大，所以要滿足題設(shè)要求，必須讓離子從P點(diǎn)射出磁場，軌跡如圖所示．
由幾何關(guān)系得：$r=\frac{{\fracgsjqcci{2}}}{cos30°}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}d$…⑦
聯(lián)立③⑤⑦式解得：$B=\frac{{2m{v_0}}}{qd}$…⑧
答：（1）金屬板間的電場強(qiáng)度為v₀B₀；方向向下；
（2）A點(diǎn)離下極板的高度為$\frac{m{v}_{0}}{6q{B}_{0}}$；
（3）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)為$\frac{2m{v}_{0}}{qd}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是粒子速度選擇器、電場偏轉(zhuǎn)和磁場偏轉(zhuǎn)的綜合，關(guān)鍵要掌握類平拋運(yùn)動(dòng)的處理方法：運(yùn)動(dòng)的分解法，并能運(yùn)用動(dòng)能定理求解h．
磁場中勻速圓周運(yùn)動(dòng)問題，關(guān)鍵要正確畫出離子的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求解半徑．