Question

10．如圖所示將一根絕緣硬金屬導(dǎo)線彎曲成一個(gè)完整的正弦曲線形狀，它通過(guò)兩個(gè)小金屬環(huán)與長(zhǎng)直金屬桿導(dǎo)通，在外力F作用下，正弦形金屬線可以在桿上無(wú)摩擦滑動(dòng)．桿的電阻不計(jì)，導(dǎo)線電阻為R，ab間距離為2L，導(dǎo)線組成的正弦圖形頂部或底部到桿的距離都是d，在導(dǎo)線和桿平面內(nèi)有一有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)的寬度為L(zhǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，現(xiàn)在外力F作用下導(dǎo)線沿桿以恒定的速度v向右運(yùn)動(dòng)，t=0時(shí)刻導(dǎo)線從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，直到全部穿過(guò)過(guò)程中，外力F所做功為（　�。�

• A． $\frac{{{B^2}{L^2}{v^2}}}{R}$
• B． $\frac{{2{B^2}{d^2}Lv}}{R}$
• C． $\frac{{3{B^2}{d^2}{v^2}}}{R}$
• D． $\frac{{3{B^2}{d^2}Lv}}{R}$

Answer 1

分析 金屬導(dǎo)線向右一共移動(dòng)了3L，把全過(guò)程分為三個(gè)階段，因?qū)Ь�切割磁力線的有效長(zhǎng)度是隨正弦規(guī)律變化的，所以產(chǎn)生的電流也是按正弦規(guī)律變化的正弦交流電，分別求出在這三段中的有效電動(dòng)勢(shì)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)時(shí)間可求出每段運(yùn)動(dòng)過(guò)程上產(chǎn)生的內(nèi)能，外力F所做的功全部轉(zhuǎn)化為了內(nèi)能．

解答 解：金屬導(dǎo)線在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為：e=Bvy，y為導(dǎo)線切割磁力線的有效長(zhǎng)度．
在導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，y隨時(shí)間的變化為：
y=dsinπ$\frac{x}{L}$=dsinπ$\frac{vt}{L}$=dsinωt，$\frac{πv}{L}$=ω，
則導(dǎo)線從開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)到L的過(guò)程中（如圖）有：
e₁=Bvy=Bvdsinπ$\frac{vt}{L}$=Bvdsinωt
則此過(guò)程中電動(dòng)勢(shì)的最大值為：E_1max=Bvd，此過(guò)程中電動(dòng)勢(shì)的有效值為：
E₁=$\frac{{E}_{1max}}{\sqrt{2}}=\frac{Bvd}{\sqrt{2}}$，
導(dǎo)線從L向右運(yùn)動(dòng)到2L的過(guò)程中（如圖）有：
e₂=2Bvy=2Bvdsinπ$\frac{vt}{L}$=2Bvdsinωt，
即：E_2max=2Bvd，
所以：E₂=2E₁=$\frac{2Bvd}{\sqrt{2}}$，
導(dǎo)線從2L向右運(yùn)動(dòng)到3L的過(guò)程與導(dǎo)線從開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)L的過(guò)程相同（如圖），
則在這三段中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間各為t，t=$\frac{L}{v}$，
在整個(gè)過(guò)程中產(chǎn)生的內(nèi)能為：
Q=$\frac{{E}_{1}^{2}t}{R}+\frac{{E}_{2}^{2}t}{R}+\frac{{E}_{1}^{2}t}{R}$
解得：Q=$\frac{3{B}^{2}7xjps2b^{2}Lv}{R}$
故ABC錯(cuò)誤，D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 該題是以另外一種形式考察了交變電流的做功問(wèn)題，解決此題的關(guān)鍵是把整個(gè)過(guò)程進(jìn)行合理分段，分別求出各段的電動(dòng)勢(shì)的有效值，即可求出全過(guò)程的電功了．難度較大．