Question

7．勁度系數(shù)為k的輕彈簧豎直懸掛，在其下端掛一質(zhì)量為m的砝碼，然后從彈簧原長(zhǎng)處自靜止釋放砝碼，不計(jì)摩擦阻力．則（　�。�

• A． 砝碼的運(yùn)動(dòng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)
• B． 砝碼最大加速度為2g
• C． 砝碼偏離平衡位置的最大位移為$\frac{2mg}{k}$
• D． 彈簧最大彈性勢(shì)能為$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}}{k}$

Answer 1

分析 由靜止釋放砝碼后，砝碼將做簡(jiǎn)諧振動(dòng)．當(dāng)砝碼受到向上的彈簧彈力大小等于重力時(shí)，速度達(dá)到最大，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求解砝碼的最大速度．當(dāng)砝碼下落到速度為零時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)最大，彈性勢(shì)能最大，根據(jù)機(jī)械能守恒求解．

解答 解：A、設(shè)砝碼的最大速度為v_m．砝碼的最大速度時(shí)，彈簧彈力大小等于砝碼的重力，則得：mg=kx₀，得彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度 x₀=$\frac{mg}{k}$．此位置為平衡位置．
在平衡位置以上△x時(shí)，彈簧的彈力為：F=k（x₀-△x），
砝碼受到的合力：F_合=mg-F=mg-k（x₀-△x）=k△x；
同理可以得出砝碼在平衡位置以下△x時(shí)，仍然滿(mǎn)足：F_合=k△x
即砝碼受到與離開(kāi)平衡位置的位移成正比的合外力的作用，且該合力始終最小平衡位置，所以由靜止釋放砝碼后，砝碼在重力和彈簧的彈力作用下將做簡(jiǎn)諧振動(dòng)．故A錯(cuò)誤；
B、當(dāng)砝碼下落到速度為零時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)最大，彈性勢(shì)能最大，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，此時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量為：
x′=2x₀=2$\frac{mg}{k}$，
根據(jù)牛頓第二定律得：a=$\frac{{F}_{彈}-G}{m}$=$\frac{kx′-mg}{m}$=$\frac{2mg-mg}{m}$=g，所以彈性勢(shì)能最大時(shí)小球加速度大小為g，故B錯(cuò)誤．
C、此時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量為：x′=2$\frac{mg}{k}$，所以砝碼偏離平衡位置的最大位移為：x′-x₀=$\frac{mg}{k}$．故C錯(cuò)誤；
D、當(dāng)砝碼下落到速度為零時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)最大，彈性勢(shì)能最大，砝碼從靜止開(kāi)始下落到速度為零時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理研究得：mg•2$\frac{mg}{k}$+W_彈=0-0=0
解得：W_彈=-$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}}{k}$
彈簧彈力做功量度彈性勢(shì)能的變化，所以最大的彈性勢(shì)能為$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}}{k}$，故D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題要抓住簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)性，分析能量如何轉(zhuǎn)化，運(yùn)用機(jī)械能守恒和牛頓第二定律進(jìn)行分析．