Question

9．一水平傳送帶以恒定速度v₀運(yùn)動(dòng)，若使該傳送帶改做加速度大小為a的勻減速運(yùn)動(dòng)，并且在傳送帶開(kāi)始做勻減速運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，將一支粉筆頭放在傳送帶上并存在相對(duì)滑動(dòng)．已知粉筆頭與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，且有μ＜$\frac{a}{g}$，求粉筆頭在傳送帶上能留下的劃線長(zhǎng)度和相對(duì)于傳送帶運(yùn)動(dòng)的位移．

Answer 1

分析 粉筆頭放在傳送帶時(shí)，劃線的長(zhǎng)度等于傳送帶與粉筆頭的相對(duì)位移大小，根據(jù)牛頓第二定律求出粉筆頭的加速度．粉筆頭先做勻加速運(yùn)動(dòng)，速度與傳送帶相同后，根據(jù)傳送帶的加速度與兩者靜止時(shí)粉筆頭最大靜摩擦力相比較，判斷粉筆頭的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)位移公式和位移關(guān)系求解該粉筆頭在傳送帶上能留下的劃線的長(zhǎng)度．

解答 解：傳送帶做勻減速運(yùn)動(dòng)，粉筆頭放在傳送帶后先做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為：a′=$\frac{μmg}{m}$=μg
設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t粉筆頭的速度與傳送帶相同，則有：
v=a′t=v₀-at
得：t=$\frac{{v}_{0}}{a+μg}$，v=$\frac{μg{v}_{0}}{a+μg}$
劃線長(zhǎng)度為：△s=s_帶-s_粉=（v₀t-$\frac{1}{2}$at²）-$\frac{1}{2}a′{t}^{2}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2（a+μg）}$
粉筆頭與傳送帶共速后，由于μ＜$\frac{a}{g}$，有 μmg＜ma，傳送帶繼續(xù)做勻減速運(yùn)動(dòng)，粉筆頭也做勻減速運(yùn)動(dòng)，直到靜止．
故該段過(guò)程傳送帶位移為：s₁=$\frac{{v}^{2}}{2a}$
該過(guò)程粉筆頭的位移為：s₂=$\frac{{v}^{2}}{2a′}$
此過(guò)程兩者相對(duì)位移大小為：△s′=s₂-s₁=$\frac{（a-μg）μg{v}_{0}^{2}}{2a（a+μg）^{2}}$
粉筆頭相對(duì)于傳送帶運(yùn)動(dòng)的位移為：△s_總=△s-△s′=$\frac{（{a}^{2}+{μ}^{2}{g}^{2}）{v}_{0}^{2}}{2a（a+μg）^{2}}$
粉筆頭在傳送帶上能留下的劃線長(zhǎng)度為：L=△s_總=$\frac{（{a}^{2}+{μ}^{2}{g}^{2}）{v}_{0}^{2}}{2a（a+μg）^{2}}$
答：粉筆頭在傳送帶上能留下的劃線長(zhǎng)度和相對(duì)于傳送帶運(yùn)動(dòng)的位移都是$\frac{（{a}^{2}+{μ}^{2}{g}^{2}）{v}_{0}^{2}}{2a（a+μg）^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題中粉筆頭在傳送帶留下的劃線的長(zhǎng)度等于兩者相對(duì)位移大小，分析粉筆頭的運(yùn)動(dòng)情況是關(guān)鍵．