Question

4．清明節(jié)高速免費(fèi)，物理何老師駕車在返城經(jīng)過高速公路的一個出口路段如圖所示，發(fā)現(xiàn)轎車從出口A進(jìn)入匝道，先勻減速直線通過下坡路段至B點(diǎn)（通過B點(diǎn)前后速率不變），再勻速率通過水平圓弧路段至C點(diǎn)，最后從C點(diǎn)沿平直路段勻減速到收費(fèi)口D點(diǎn)停下．已知轎車在出口A處的速度v₀=20m/s，AB長L₁=200m；BC為四分之一水平圓弧段，限速（允許通過的最大速度）v=10m/s，輪胎與BC段路面間的動摩擦因μ=0.2，最大靜摩擦力可認(rèn)為等于滑動摩擦力，CD段為平直路段長L₂=100m，重力加速度g取10m/s²，π取3.14．求：
（1）若轎車到達(dá)B點(diǎn)速度剛好為v=10m/s，轎車在AB下坡段加速度的大小；
（2）為保證行車安全，車輪不打滑，水平圓弧段BC半徑R的最小值；
（3）轎車A點(diǎn)到D點(diǎn)全程的最短時(shí)間（保留兩位小數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勻變速直線運(yùn)動的速度位移公式求出轎車在AB下坡段的加速度大小．
（2）根據(jù)最大靜摩擦力，結(jié)合牛頓第二定律求出水平圓弧段BC的半徑最小值．
（3）根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式分別求出AB、BC和CD段的時(shí)間，從而得出轎車從A點(diǎn)到D點(diǎn)的最短時(shí)間．

解答 解：（1）對AB段勻減速直線運(yùn)動有：
${v}^{2}-{{v}_{0}}^{2}$=-2aL₁ 
代入數(shù)據(jù)解得：a=0.75m/s²                 
（2）汽車在BC段做圓周運(yùn)動，靜摩擦力提供向心力，有：
${F}_{f}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
為了確保安全，則須滿足 F_f≤μmg            
聯(lián)立解得：R≥50m，即：R_min=50m　　        
（3）設(shè)AB段時(shí)間為t₁，BC段時(shí)間為t₂，CD段時(shí)間為t₃，全程所用最短時(shí)間為t．
L₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}$，
$\frac{1}{2}$πR=vt₂ 
L₂=$\frac{v}{2}{t}_{3}$，
則總時(shí)間為：t=t₁+t₂+t₃
代入數(shù)據(jù)解得t=41.18 s．
答：（1）轎車在AB下坡段加速度的大小為0.75m/s²；
（2）為保證行車安全，車輪不打滑，水平圓弧段BC半徑R的最小值為50m；
（3）轎車A點(diǎn)到D點(diǎn)全程的最短時(shí)間為41.18s．

點(diǎn)評 本題考查了勻變速直線運(yùn)動和圓周運(yùn)動的綜合運(yùn)用，知道圓周運(yùn)動向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解，對于第三問，關(guān)鍵理清轎車在整個過程中的運(yùn)動規(guī)律，結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式和推論進(jìn)行求解．