Question

19．如圖甲所示，質(zhì)量為1kg的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）在離地面高h(yuǎn)=1m的A點(diǎn)沿光滑弧形軌道以初速度v₀=4m/s開始下滑，通過水平軌道BC后，再沿著光滑的半圓軌道運(yùn)動(dòng)．已知滑塊與水平軌道BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.10，半圓軌道半徑為R，且C、O、D三點(diǎn)在同一豎直線上，設(shè)水平軌道長(zhǎng)BC=x，所有軌道均平滑連接，不計(jì)空氣阻力，g取10m/s²．求：

（1）若x=2m，則滑塊到達(dá)C點(diǎn)的動(dòng)能是多大？
（2）若滑塊經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌道的壓力F_D與水平軌道長(zhǎng)x之間關(guān)系圖象如圖乙所示，則光滑半圓軌道的半徑是多大？
（3）在滿足（2）問的情況下，滑塊離開D點(diǎn)后作平拋運(yùn)動(dòng)，落地點(diǎn)（圖中未標(biāo)出）離C點(diǎn)的距離為水平軌道BC總長(zhǎng)x的$\frac{\sqrt{2}}{3}$倍，求此情況下水平軌道BC總長(zhǎng)x．

Answer 1

分析 （1）研究滑塊從A到C的過程，由動(dòng)能定理可以求出滑塊到達(dá)C點(diǎn)的動(dòng)能；
（2）對(duì)A到D，由動(dòng)能定理求出滑塊到達(dá)D點(diǎn)的速度．在D點(diǎn)，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律和向心力公式求出軌道半徑；
（3）滑塊離開D點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)和向心力公式求出軌道長(zhǎng)度．

解答 解 （1）A到C過程，由動(dòng)能定理得：
mgh-μmgx=E_kc-$\frac{1}{2}$mv₀²，
帶入數(shù)據(jù)解得：E_kc=16J；
（2）設(shè)滑塊到達(dá)D點(diǎn)的速度大小為v_D，軌道對(duì)其壓力為F_D′，A到D過程，由動(dòng)能定理得：
mgh-μmgx-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
在D點(diǎn)，由牛頓第二定律得：F_D+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
根據(jù)牛頓第三定律可知，即F_D=F_D′
由圖乙可知，F(xiàn)_D=22-4x
代入上面兩式，解得：R=0.5m；
（3）滑塊離開D點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)在空中飛行的時(shí)間為t，
水平方向：$\frac{\sqrt{2}}{3}$x=v_Dt，
豎直方向：2R=$\frac{1}{2}$gt²，
將F_D′+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$，F(xiàn)_D=22-4x，R=0.5m，代入上面兩式得：5x²+9x-72=0，
解得水平軌道BC總長(zhǎng)為：x=3m；
答：（1）若x=2m，則滑塊到達(dá)C點(diǎn)的動(dòng)能是16J；
（2）光滑半圓軌道的半徑是0.5m；
（3）此情況下水平軌道BC總長(zhǎng)為3m．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道力學(xué)綜合題，分析清楚滑塊的運(yùn)動(dòng)過程是正確解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律、平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可正確解題．