Question

【題目】如圖所示，在某豎直平面內(nèi)固定一由斜面AB、水平面BC和半徑R＝20cm的半圓CD組成的光滑軌道，水平軌道足夠長(zhǎng)，半圓CD圓心為O，與水平面相切于C點(diǎn)，直徑CD垂直于BC．可視為質(zhì)點(diǎn)的甲、乙兩球質(zhì)量均為m＝l.0×10－2kg，現(xiàn)將小球甲從斜面上距BC高為的A點(diǎn)由靜止釋放，到達(dá)B點(diǎn)后只保留水平分速度沿水平面運(yùn)動(dòng)，與靜止在C點(diǎn)小球乙發(fā)生彈性碰撞，重力加速度g取10m/s2，求：

（1）若兩球碰撞后，乙恰能通過(guò)軌道的最高點(diǎn)D，則甲、乙碰后瞬間，乙對(duì)半圓軌道最低點(diǎn)C處的壓力；

（2）若兩球碰撞后，乙恰能通過(guò)軌道的最高點(diǎn)D，求斜面與水平面的夾角；

（3）若將甲仍從A點(diǎn)釋放，增大甲的質(zhì)量，保持乙的質(zhì)量不變，求乙在軌道上的首次落點(diǎn)到C點(diǎn)的最短距離．

Answer 1

【答案】（1）0.6N（2） 30°（3）0.4m

【解析】（1）乙恰好能通過(guò)D點(diǎn)，其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力完全由重力提供，設(shè)乙到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度為vD，則mg＝m，解得：

乙球從C到D，根據(jù)機(jī)械能守恒，得： ．解得：

在碰后的C點(diǎn)：F＇一mg＝m．解得：F＇＝6mg

根據(jù)牛頓第三定律得F＝F＇＝6mg＝0.6N，方向豎直向下

（2）設(shè)碰撞前后甲的速度分別為v、v甲，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能守恒定律有：

mv＝mv甲＋mvC

聯(lián)立以上兩式解得v甲＝0，v＝vC＝

甲從A點(diǎn)下落到斜面底端，由機(jī)械能守恒定律得mgR＝

解得：

在B點(diǎn)對(duì)速度分解可得cos＝，解得＝30°

（3）因?yàn)榧自谛泵嫔厢尫艜r(shí)的高度不變，根據(jù)動(dòng)能定理以及運(yùn)動(dòng)的分解可得甲運(yùn)動(dòng)到水平面上的速度仍為，設(shè)甲的質(zhì)量為M，碰撞后甲、乙的速度分別為VM、Vm，根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒定律有：

Mv＝MvM＋mvm

聯(lián)立解得：

因?yàn)?/span>M≥m，可得v0≤vm＜2v0

設(shè)乙球過(guò)D點(diǎn)的速度為vD＇，由動(dòng)能定理得

聯(lián)立解得：

乙在水平軌道上的落點(diǎn)到C點(diǎn)的距離為x＇，則有

，x＇＝vD＇t

聯(lián)立解得乙在軌道上的首次落點(diǎn)到C點(diǎn)的距離范圍：2R≤x＇＜8R

乙在軌道上的首次落點(diǎn)到C點(diǎn)的距離范圍0.4m≤x＇＜1.6m

乙在軌道上的首次落點(diǎn)到C點(diǎn)的最短距離為0.4m