Question

14．如圖所示，MN、PQ為光滑平行的水平金屬導軌，電阻R=3.0Ω，置于豎直向下的有界勻強磁場中，OO′為磁場邊界，磁場磁感應強度B=1.0T，導軌間距L=1.0m，質量m=1.0kg的導體棒垂直置于導軌上且與導軌電接觸良好，導體棒接入電路的電阻為r=1.0Ω．t=0時刻，導體棒在水平拉力作用下從OO′左側某處由靜止開始以加速度a₀=1.0m/s²做勻加速運動，t₀=2.0s時刻棒進入磁場繼續(xù)運動，導體棒始終與導軌垂直．
（1）求0～t₀時間內棒受到拉力的大小F₀及t₀時刻進
入磁場時回路的電功率P₀．
（2）求導體棒t₀時刻進入磁場瞬間的加速度a；若此后棒在磁場中以加速度a做勻加速運動至t₁=4s時刻，求t₀～t₁時間內通過電阻R的電量q．
（3）在（2）情況下，已知t₀～t₁時間內拉力做功W=5.7J，求此過程中回路中產生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）在OO'左側導體棒在拉力作用下做初速度為零的勻加速直線運動，根據(jù)牛頓第二定律求得導體棒所受拉力大小，再根據(jù)速度時間關系求得導體棒進入磁場的速度大小，由E=BLv求得感應電動勢，再根據(jù)功率表達式求得回路的電功率；
（2）根據(jù)F=BIL和I=$\frac{E}{R+r}=\frac{BLv}{R+r}$求得剛進入磁場時的安培力的大小，再根據(jù)牛頓第二定律求得導體棒剛進入磁場時的加速度，由加速度求得導體棒在4s內的位移，再根據(jù)q=$\frac{△∅}{R+r}=\frac{B△S}{R+r}$求得通過電阻R的電量；
（3）對于導體棒在t₀～t₁時間內有拉力和安培力做功，根據(jù)動能定理求得安培力做功，而克服安培力所做的功等于回路中產生的焦耳熱，據(jù)此計算即可．

解答 解：（1）設導體棒在進入磁場前運動的加速度為a₀，則
F=ma₀
棒在t₀時刻速度  v₀=a₀t₀
棒在t₀時刻產生的電動勢  E=BLv₀     
電功率${P}_{0}=\frac{{E}^{2}}{R+r}$=$\frac{（{BL{v}_{0}）}^{2}}{R+r}=\frac{（1×1×2）^{2}}{3+1}W$=1.0W
（2）回路在t₀時刻產生的感應電流 $I=\frac{E}{R+r}$
棒在t₀時刻受到的安培力F_A=BIL
根據(jù)牛頓定律有  F-F_A=ma
代入數(shù)據(jù)解得  a=$\frac{F-{F}_{A}}{m}$═$\frac{m{a}_{0}-B\frac{Bl{v}_{0}}{R+r}l}{m}$=$\frac{1×1-1×\frac{1×1×2}{3+1}×1}{1}m/{s}^{2}$=0.5m/s²
導體棒在t₁時間內的位移$x={v}_{0}（{t}_{1}-{t}_{0}）^{2}+\frac{1}{2}a（{t}_{1}-{t}_{0}）^{2}$=$2×（4-2）+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×（4-2）^{2}m$=5m
則在t₀-t₁時間內通過導體棒的電荷量q=$\frac{△∅}{R+r}=\frac{B△S}{R+r}$=$\frac{BLx}{R+r}=\frac{1×1×5}{3+1}C=1.25C$
（3）t₁時刻棒的速度 v=v₀+a（t₁-t₀） 
由動能定理有$W+{W}_{A}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
Q=-W_A=$W-\frac{1}{2}m（{v}^{2}-{v}_{0}^{2}）=5.7-\frac{1}{2}×1×（{3}^{2}-{2}^{2}）J$=3.2J
答：（1）求0～t₀時間內棒受到拉力的大小F₀及t₀時刻進入磁場時回路的電功率P₀為1.0W；
（2）導體棒t₀時刻進入磁場瞬間的加速度a為0.5m/s²；若此后棒在磁場中以加速度a做勻加速運動至t₁=4s時刻，求t₀～t₁時間內通過電阻R的電量q為1.25C．
（3）在（2）情況下，已知t₀～t₁時間內拉力做功W=5.7J，此過程中回路中產生的焦耳熱Q為3.2J．

點評 本題是電磁感應與電路、運動學相結合的綜合題，分析清楚棒的運動過程、由圖象找出某時刻所對應的電流、應用相關知識，是正確解題的關鍵．