Question

14．如圖所示，MN、PQ為光滑平行的水平金屬導(dǎo)軌，電阻R=3.0Ω，置于豎直向下的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，OO′為磁場(chǎng)邊界，磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0T，導(dǎo)軌間距L=1.0m，質(zhì)量m=1.0kg的導(dǎo)體棒垂直置于導(dǎo)軌上且與導(dǎo)軌電接觸良好，導(dǎo)體棒接入電路的電阻為r=1.0Ω．t=0時(shí)刻，導(dǎo)體棒在水平拉力作用下從OO′左側(cè)某處由靜止開(kāi)始以加速度a₀=1.0m/s²做勻加速運(yùn)動(dòng)，t₀=2.0s時(shí)刻棒進(jìn)入磁場(chǎng)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌垂直．
（1）求0～t₀時(shí)間內(nèi)棒受到拉力的大小F₀及t₀時(shí)刻進(jìn)
入磁場(chǎng)時(shí)回路的電功率P₀．
（2）求導(dǎo)體棒t₀時(shí)刻進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間的加速度a；若此后棒在磁場(chǎng)中以加速度a做勻加速運(yùn)動(dòng)至t₁=4s時(shí)刻，求t₀～t₁時(shí)間內(nèi)通過(guò)電阻R的電量q．
（3）在（2）情況下，已知t₀～t₁時(shí)間內(nèi)拉力做功W=5.7J，求此過(guò)程中回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）在OO'左側(cè)導(dǎo)體棒在拉力作用下做初速度為零的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求得導(dǎo)體棒所受拉力大小，再根據(jù)速度時(shí)間關(guān)系求得導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)的速度大小，由E=BLv求得感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，再根據(jù)功率表達(dá)式求得回路的電功率；
（2）根據(jù)F=BIL和I=$\frac{E}{R+r}=\frac{BLv}{R+r}$求得剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的安培力的大小，再根據(jù)牛頓第二定律求得導(dǎo)體棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的加速度，由加速度求得導(dǎo)體棒在4s內(nèi)的位移，再根據(jù)q=$\frac{△∅}{R+r}=\frac{B△S}{R+r}$求得通過(guò)電阻R的電量；
（3）對(duì)于導(dǎo)體棒在t₀～t₁時(shí)間內(nèi)有拉力和安培力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求得安培力做功，而克服安培力所做的功等于回路中產(chǎn)生的焦耳熱，據(jù)此計(jì)算即可．

解答 解：（1）設(shè)導(dǎo)體棒在進(jìn)入磁場(chǎng)前運(yùn)動(dòng)的加速度為a₀，則
F=ma₀
棒在t₀時(shí)刻速度  v₀=a₀t₀
棒在t₀時(shí)刻產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)  E=BLv₀     
電功率${P}_{0}=\frac{{E}^{2}}{R+r}$=$\frac{（{BL{v}_{0}）}^{2}}{R+r}=\frac{（1×1×2）^{2}}{3+1}W$=1.0W
（2）回路在t₀時(shí)刻產(chǎn)生的感應(yīng)電流 $I=\frac{E}{R+r}$
棒在t₀時(shí)刻受到的安培力F_A=BIL
根據(jù)牛頓定律有  F-F_A=ma
代入數(shù)據(jù)解得  a=$\frac{F-{F}_{A}}{m}$═$\frac{m{a}_{0}-B\frac{Bl{v}_{0}}{R+r}l}{m}$=$\frac{1×1-1×\frac{1×1×2}{3+1}×1}{1}m/{s}^{2}$=0.5m/s²
導(dǎo)體棒在t₁時(shí)間內(nèi)的位移$x={v}_{0}（{t}_{1}-{t}_{0}）^{2}+\frac{1}{2}a（{t}_{1}-{t}_{0}）^{2}$=$2×（4-2）+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×（4-2）^{2}m$=5m
則在t₀-t₁時(shí)間內(nèi)通過(guò)導(dǎo)體棒的電荷量q=$\frac{△∅}{R+r}=\frac{B△S}{R+r}$=$\frac{BLx}{R+r}=\frac{1×1×5}{3+1}C=1.25C$
（3）t₁時(shí)刻棒的速度 v=v₀+a（t₁-t₀） 
由動(dòng)能定理有$W+{W}_{A}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
Q=-W_A=$W-\frac{1}{2}m（{v}^{2}-{v}_{0}^{2}）=5.7-\frac{1}{2}×1×（{3}^{2}-{2}^{2}）J$=3.2J
答：（1）求0～t₀時(shí)間內(nèi)棒受到拉力的大小F₀及t₀時(shí)刻進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)回路的電功率P₀為1.0W；
（2）導(dǎo)體棒t₀時(shí)刻進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間的加速度a為0.5m/s²；若此后棒在磁場(chǎng)中以加速度a做勻加速運(yùn)動(dòng)至t₁=4s時(shí)刻，求t₀～t₁時(shí)間內(nèi)通過(guò)電阻R的電量q為1.25C．
（3）在（2）情況下，已知t₀～t₁時(shí)間內(nèi)拉力做功W=5.7J，此過(guò)程中回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q為3.2J．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與電路、運(yùn)動(dòng)學(xué)相結(jié)合的綜合題，分析清楚棒的運(yùn)動(dòng)過(guò)程、由圖象找出某時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的電流、應(yīng)用相關(guān)知識(shí)，是正確解題的關(guān)鍵．