Question

10．如圖甲所示，直角坐標(biāo)系xOy中，第二象限內(nèi)沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第一、四象限內(nèi)有垂直坐標(biāo)平面的勻強(qiáng)交變磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外為正方向．第三象限內(nèi)有一發(fā)射裝置（圖中沒有畫出）沿y軸正方向射出一個(gè)比荷$\frac{q}{m}$=100C/kg的帶正電的粒子（可視為質(zhì)點(diǎn)且不計(jì)重力），該粒子以v₀=10m/s的速度從x軸上的點(diǎn)A（-1m，0）進(jìn)入第二象限，然后從y軸上的點(diǎn)C（0，2m）進(jìn)入第一象限，取粒子剛進(jìn)入第一象限的時(shí)刻為0時(shí)刻，第一、四象限內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度按圖乙所示規(guī)律變化，取g=10m/s²．
（1）求第二象限內(nèi)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小；
（2）求粒子第一次經(jīng)過x正半軸時(shí)的位置坐標(biāo)；
（3）若第一、四象限內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度按圖丙所示規(guī)律變化，求粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由類平拋運(yùn)動(dòng)的位移公式求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間，進(jìn)而求得加速度，最后求得電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）根據(jù)（1）求得粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，然后由洛倫茲力做向心力求得半徑及周期，即可得到粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，從而得到交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)B的變化規(guī)律得到粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而得到焦點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）帶電粒子在第二象限的電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，只受電場(chǎng)力作用，做類平拋運(yùn)動(dòng)；
故運(yùn)動(dòng)時(shí)間$t=\frac{{y}_{OC}}{{v}_{0}}=0.2s$，那么粒子運(yùn)動(dòng)的加速度$a=\frac{2{x}_{OA}}{{t}^{2}}=50m/{s}^{2}$；
所以，第二象限內(nèi)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度$E=\frac{ma}{q}=0.5V/m$；
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度豎直分量v_y=v₀=10m/s，水平分量v_x=at=10m/s，所以，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度$v=10\sqrt{2}m/s$，速度方向與y軸正向成45°；
那么，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力做向心力，即$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$R=\frac{mv}{Bq}=\frac{1}{4}\sqrt{2}m$，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期$T=\frac{2πm}{Bq}=\frac{π}{20}s$；
所以，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，，粒子第一次經(jīng)過x正半軸時(shí)的位置坐標(biāo)為$2-2Rcos45°（m）=2-\frac{1}{2}（m）$=$\frac{3}{2}m$；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度按圖丙所示規(guī)律變化，那么粒子每轉(zhuǎn)過$\frac{3}{4}π$后就改變偏轉(zhuǎn)方向，故粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
那么，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡與x軸的交點(diǎn)為M點(diǎn)，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為7×（R+Rsin45°）+R-Rsin45°=$\frac{3}{2}+2\sqrt{2}（m）$；
答：（1）第二象限內(nèi)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為0.5V/m；
（2）粒子第一次經(jīng)過x正半軸時(shí)的位置坐標(biāo)為$\frac{3}{2}m$；
（3）第一、四象限內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度按圖丙所示規(guī)律變化，則粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}+2\sqrt{2}（m）$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子的運(yùn)動(dòng)問題，一般先由洛倫茲力做向心力求得半徑，然后根據(jù)幾何條件得到運(yùn)動(dòng)軌跡，即可求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間等相關(guān)問題．