Question

20．平直的公路上，一輛汽車以加速度a從靜止開(kāi)始啟動(dòng)，人在車后面，以初速度v₀追趕汽車，開(kāi)始時(shí)，人與車之間的距離為s₀，設(shè)人與車速度相等前，人比車多走的距離為△s，判斷人是否能追上車？
（1）當(dāng)△s＞s₀時(shí)，追上了，需要求何時(shí)追上？
（2）當(dāng)△s＜s₀時(shí)，追不上，需要求人與車之間的最小距離s_min？
（3）當(dāng)△s=s₀時(shí)，恰好追上，則人勻速運(yùn)動(dòng)的速度至少為多少？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)△s＞s₀時(shí)，人會(huì)追上汽車，結(jié)合位移關(guān)系，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出追及的時(shí)間．
（2）當(dāng)△s＜s₀時(shí)，人不會(huì)追上汽車，當(dāng)速度相等時(shí)，兩者之間有最小距離，結(jié)合速度時(shí)間公式和位移公式求出最小距離．
（3）當(dāng)△s=s₀時(shí)，恰好追上，根據(jù)位移關(guān)系，抓住速度相等時(shí)恰好追上求出人勻速運(yùn)動(dòng)的最小速度．

解答 解：（1）在速度相等前，人的速度大于車的速度，若△s＞s₀時(shí)，人會(huì)追上汽車．
根據(jù)${v}_{0}t={s}_{0}+\frac{1}{2}a{t}^{2}$解得：t=$\frac{{v}_{0}-\sqrt{{{v}_{0}}^{2}-2a{s}_{0}}}{a}$．
（2）若△s＜s₀時(shí)，追不上，速度相等時(shí)有最小距離．速度相等經(jīng)歷的時(shí)間為：$t=\frac{{v}_{0}}{a}$，
$△x={v}_{0}\frac{{v}_{0}}{a}-\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2a}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2a}$．
則最小距離s_min=s₀-△x=${s}_{0}-\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2a}$．
（3）當(dāng)△s=s₀時(shí)，恰好追上，根據(jù)${v}_{0}\frac{{v}_{0}}{a}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2a}+{s}_{0}$，解得最小初速度為：${v}_{0}=\sqrt{2a{s}_{0}}$．
答：（1）當(dāng)△s＞s₀時(shí)，追上了，需要經(jīng)歷$\frac{{v}_{0}-\sqrt{{{v}_{0}}^{2}-2a{s}_{0}}}{a}$的時(shí)間追上；
（2）當(dāng)△s＜s₀時(shí)，追不上，人與車之間的最小距離為${s}_{0}-\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2a}$；
（3）當(dāng)△s=s₀時(shí)，恰好追上，則人勻速運(yùn)動(dòng)的速度至少為$\sqrt{2a{s}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了運(yùn)動(dòng)學(xué)中的追及問(wèn)題，抓住臨界狀態(tài)，結(jié)合位移關(guān)系，運(yùn)動(dòng)學(xué)公式靈活求解，難度中等．