Question

5．如圖所示，兩根半徑為r光滑的$\frac{1}{4}$圓弧軌道間距為L，電阻不計(jì)，在其上端連有一阻值為R₀的電阻，整個(gè)裝置處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．現(xiàn)有一根長度稍大于L、質(zhì)量為m、電阻為R的金屬棒從軌道的頂端PQ處開始下滑，到達(dá)軌道底端MN時(shí)對軌道的壓力為2mg，求：
（1）棒到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)電阻R₀兩端的電壓；
（2）棒下滑過程中R₀產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）棒下滑過程中通過R₀的電量．

Answer 1

分析 （1）金屬棒到達(dá)軌道MN處時(shí)由軌道的支持力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出速度v，得到感應(yīng)電動勢E=BLv，電阻R₀兩端的電壓U=$\frac{E{R}_{0}}{R+{R}_{0}}$．
（2）根據(jù)能量守恒定律得知Q=mgr-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$．根據(jù)串聯(lián)電路的特點(diǎn)和焦耳定律求解R₀產(chǎn)生的熱量．
（3）電量q=$\overline{I}△t$=$\frac{\overline{E}}{R+{R}_{0}}•△t$=$\frac{△BS}{R+{R}_{0}}$．

解答 解：（1）到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，設(shè)棒的速度為v，由牛頓第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
由題意有：N=2mg
得：v=$\sqrt{gr}$
金屬棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：E=BLv=BL$\sqrt{gr}$
故有：U=$\frac{E{R}_{0}}{R+{R}_{0}}$=$\frac{BL{R}_{0}\sqrt{gr}}{R+{R}_{0}}$
（2）由能量轉(zhuǎn)化和守恒得：
Q=mgr-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}mgr$
金屬棒與電阻R₀串聯(lián)，根據(jù)焦耳定律得R₀產(chǎn)生的熱量為：
Q₀=$\frac{{R}_{0}}{{R}_{0}+R}Q$=$\frac{mg{R}_{0}r}{2（{R}_{0}+R）}$ 
（3）棒下滑過程中通過R₀的電量為：
q=$\overline{I}△t$=$\frac{\overline{E}}{R+{R}_{0}}•△t$=$\frac{△BS}{R+{R}_{0}}$=$\frac{BrL}{R+{R}_{0}}$
答：（1）棒到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)電阻R₀兩端的電壓是$\frac{BL{R}_{0}\sqrt{gr}}{R+{R}_{0}}$；
（2）棒下滑過程中產(chǎn)生R₀的熱量$\frac{mg{R}_{0}r}{2（{R}_{0}+R）}$；
（3）棒下滑過程中通過R₀的電量是$\frac{BrL}{R+{R}_{0}}$．

點(diǎn)評 本題中金屬棒做圓周運(yùn)動，分析向心力的來源，根據(jù)牛頓運(yùn)動定律求出速度，分析能量如何轉(zhuǎn)化是運(yùn)用能量守恒定律的關(guān)鍵．