Question

10．有一質(zhì)量為M，半徑為R的密度均勻球體，在距離球心O為2R的地方有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，現(xiàn)從M中挖去一半徑為$\frac{R}{2}$的球體，如圖所示，求剩下部分對(duì)m的萬(wàn)有引力F為多大．

Answer 1

分析 用沒(méi)挖之前球?qū)�質(zhì)點(diǎn)的引力，減去被挖部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力，就是剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力．

解答 解：一個(gè)質(zhì)量均勻分布的球體與球外的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬(wàn)有引力可以用公式$F=G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$直接進(jìn)行計(jì)算，但當(dāng)球體被挖去一部分后，由于質(zhì)量分布不均勻，萬(wàn)有引力定律就不再適用．此時(shí)我們可以用“割補(bǔ)法”進(jìn)行求解，設(shè)想將被挖部分重新補(bǔ)回，則完整球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的引力為F，可以看作是剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力F₁與被挖小球?qū)�質(zhì)點(diǎn)的引力F₂的合力，即F=F₁+F₂．
挖出小球的質(zhì)量為：$M′=\frac{\frac{4}{3}π（\frac{R}{2}）_{\;}^{3}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}M=\frac{M}{8}$
挖出小球?qū)�m的萬(wàn)有引力為：${F}_{2}^{\;}=G\frac{M′m}{（R+\frac{R}{2}）_{\;}^{2}}=G\frac{Mm}{18{R}_{\;}^{2}}$
而$F=G\frac{Mm}{4{R}_{\;}^{2}}$．故有：${F}_{1}^{\;}=F-{F}_{2}^{\;}=\frac{7GMm}{36{R}_{\;}^{2}}$
答：剩下部分對(duì)m的萬(wàn)有引力F為$\frac{7GMm}{36{R}_{\;}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵就是要對(duì)挖之前的引力和挖去部分的引力計(jì)算，而不是直接去計(jì)算剩余部分的引力，因?yàn)槟鞘且粋�(gè)不規(guī)則球體，其引力直接由公式得到．