Question

18．如圖所示，虛線OM與y軸的夾角為θ=60°，在此角范圍內(nèi)有垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．一質(zhì)量為m、電荷量為q（q＞0）的粒子從y軸左側(cè)平行于x軸射入磁場(chǎng)，入射點(diǎn)為P．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R．粒子離開磁場(chǎng)后的運(yùn)動(dòng)軌跡與x軸交于Q點(diǎn)（圖中未畫出），且$\overline{OQ}$=R．不計(jì)粒子重力．求：
（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期；
（2）P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離；
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求出軌道半徑，然后求出周期．
（2）作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)題意應(yīng)用幾何知識(shí)求出距離．
（3）根據(jù)粒子轉(zhuǎn)過的圓心角與粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期，根據(jù)t=$\frac{θ}{2π}$T求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
周期：T=$\frac{2πR}{v}$，
解得：T=$\frac{2πm}{qB}$；
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)軌跡交虛線OM于A點(diǎn)，圓心為y軸上的C點(diǎn)，AC與y軸的夾角為α；
粒子從A點(diǎn)射出后，運(yùn)動(dòng)軌跡交x軸于Q點(diǎn)，設(shè)AQ與x軸的夾角為β．過A點(diǎn)作x、y軸的垂線，垂足分別為E、F．
AF=Rsinα，OF=$\frac{AF}{tan60°}$，EQ=$\frac{OF}{tanβ}$，OQ=AF+EQ，α=β，聯(lián)立得到：sinα+$\frac{1}{\sqrt{3}}$cosα=1，
解得：α=30°或：α=90°；
設(shè)P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為h，有：AF=Rsinα，h=R-OC，OC=CF-OF=Rcosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$AF，
聯(lián)立得到：h=R-$\frac{2}{\sqrt{3}}$Rcos（α+30°），
解得：h=（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）R  （α=30°），或：h=（1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）R  （α=90°）；
（3）當(dāng)α=30°時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=$\frac{T}{12}$=$\frac{πm}{6qB}$，
當(dāng)α=90°時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=$\frac{T}{4}$=$\frac{πm}{2qB}$；
答：（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為$\frac{2πm}{qB}$；
（2）P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）R 或：（1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）R；
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{πm}{6qB}$或$\frac{πm}{2qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求粒子做圓周運(yùn)到達(dá)周期、運(yùn)動(dòng)時(shí)間等問題，難度較大；根據(jù)幾何關(guān)系求出帶電粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角有兩個(gè)，要注意分別進(jìn)行求解．