Question

15．如圖所示，水平如圖1所示，紙面表示豎直平面，過P點的豎直線MN左側空間存在水平向右的勻強電場，右側存在豎直向上的勻強電場，兩個電場的電場強度大小相等．一個質量為m、帶電量為+q的小球從O點開始以豎直向上的速度v₀拋出，恰能水平地通過P點，到達P點時的速度大小仍為v₀．從小球到達P點時起，在空間施加一個垂直紙面向外的周期性變化的磁場，磁感應強度隨時間變化的圖象如圖2所示（其中t₁、t₂為未知的量，t₂＜$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$），同時將P點左側的電場保持大小不變而方向改為豎直向上，經(jīng)過一段時間又后，小球恰能豎直向上經(jīng)過Q點，已知P、Q點處在同一水平面上，間距為L．（重力加速度為g）

（1）求OP間的距離；
（2）如果磁感應強度B₀為已知量，試寫出t₁的表達式；（用題中所給的物理量的符號表示）
（3）如果小球從通過P點后便始終能在電場所在空間做周期性運動，但電場存在理想的右邊界M′N′（即M′N′的右側不存在電場），且Q點到M′N′的距離為$\frac{L}{π}$．當小球運動的周期最大時：求此時的磁感應強度B₀及小球運動的最大周期T．

Answer 1

分析 （1）小球由O到P運動過程中，豎直方向做勻減速直線運動，水平方向做勻加速直線運動，用平均速度表示兩個分位移，即可求出合位移OP的大小．
（2）小球在OP間運動過程，由牛頓第二定律和運動學規(guī)律分析得到電場力qE=mg，則知小球通過P點后，在0～t₁時間內沿水平方向做勻速直線運動，在t₁～（t₁+t₂）時間內做勻速率圓周運動．小球恰能豎直向上經(jīng)過Q點，畫出軌跡，可知${t}_{2}=\frac{3}{4}{T}_{0}$，可求出t₁的表達式．
（3）小球運動的速率始終不變，當R變大時，T₀也增加，在小球不飛出電場的情況下，當小球運動的周期T最大時，圖1中圓軌跡右側恰好跟M'N'相切，畫出軌跡，由幾何知識求出軌跡的半徑，即可求解磁感應強度B₀及周期．

解答 解：（1）小球由O到P運動過程中，豎直方向做勻減速直線運動，水平方向做勻加速直線運動，令運動時間為t，由運動學規(guī)律有$t=\frac{{v}_{0}}{g}$，
水平位移為：$x=\frac{{v}_{0}+0}{2}t=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g}$，
豎直位移we：$y=\frac{0+{v}_{0}}{2}t=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g}$，
所求OP間距離we：s=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\frac{\sqrt{2}{{v}_{0}}^{2}}{2g}$．
（2）設電場強度的大小為E，考慮小球在OP間運動過程，由牛頓第二定律和運動學規(guī)律，
豎直方向：0=v₀-gt，
水平方向：v₀=at
qE=ma
可得：qE=mg
上式表明，小球通過P點后，在0～t₁時間內沿水平方向做勻速直線運動，在t₁～（t₁+t₂）時間內做勻速率圓周運動．
設小球在磁場中做圓周運動的周期為T₀，若豎直向上通過Q點，由圖（1分）析可知必有以下兩個條件：${t_2}=\frac{3}{4}{T_0}$
v₀t₁-L=R，其中R為圓周運動的軌道半徑．
由牛頓第二定律和圓周運動規(guī)律有：$q{v_0}B=m\frac{v_0^2}{R}$${T_0}=\frac{2πR}{v_0}$
解得：${t_1}=\frac{L}{v_0}+\frac{m}{{q{B_0}}}$．
（3）小球運動的速率始終不變，當R變大時，T₀也增加，在小球不飛出電場的情況下，當小球運動的周期T最大時，圖1中圓軌跡右側恰好跟M′N′相切，為使小球從通過P點后能做周期性運動，小球運動一個周期的軌跡如圖所示．需滿足t₁=t₂．
有：$\frac{L}{π}=2R=2\frac{{m{v_0}}}{{q{B_0}}}$
解得：${B_0}=\frac{{2πm{v_0}}}{qL}$
而${T_0}=\frac{2πR}{v_0}=\frac{2πm}{{q{B_0}}}=\frac{L}{v_0}$
可知小球在電場中運動的最大周期：$T=8×\frac{{3{T_0}}}{4}=\frac{6L}{v_0}$．
答：（1）OP間的距離為$\frac{\sqrt{2}{{v}_{0}}^{2}}{2g}$；
（2）t₁的表達式為${t_1}=\frac{L}{v_0}+\frac{m}{{q{B_0}}}$．
（3）此時的磁感應強度為$\frac{2πm{v}_{0}}{qL}$，小球運動的最大周期為$\frac{6L}{{v}_{0}}$．

點評 本題帶電粒子在復合場中運動的問題，小球的受力情況，確定研究方法，在重力與電場和復合場中運用分解法研究，在電場、重力場和磁場的復合場中畫出軌跡，運用幾何知識是基本方法．