Question

8．如圖所示，一個(gè)光滑的圓錐體固定在水平面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為θ=30°，一條長(zhǎng)度為L(zhǎng)的輕繩，一端的位置固定在圓錐體的頂點(diǎn)O處，另一端栓著質(zhì)量為m的小物體，小物體以一定速率繞圓錐體軸線在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求：
（1）小物體剛好對(duì)錐面沒(méi)有壓力時(shí)的運(yùn)動(dòng)速率；
（2）當(dāng)小物體速度v=$\sqrt{\frac{gl}{6}}$時(shí)，繩對(duì)物體的拉力．（重力加速度g已知，結(jié)果可保留根式）

Answer 1

分析 （1）求出物體剛要離開(kāi)錐面時(shí)的速度，此時(shí)支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界速度．
（2）當(dāng)速度大于臨界速度，則物體離開(kāi)錐面，當(dāng)速度小于臨界速度，物體還受到支持力，根據(jù)牛頓第二定律，物體在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，求出繩子的拉力．

解答 解：（1）當(dāng)物體離開(kāi)錐面時(shí)：Tcosθ-mg=0，Tsinθ=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$，R=Lsinθ
解得v₀=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gl}{6}}$．
（2）v=$\sqrt{\frac{gl}{6}}$＜v₀時(shí)，有${T}_{1}sinθ-{N}_{1}cosθ=\frac{m{v}^{2}}{R}$，T₁cosθ+N₁sinθ-mg=0
解得${T}_{1}=\frac{3\sqrt{3}+1}{6}mg$．
答：（1）小物體剛好對(duì)錐面沒(méi)有壓力時(shí)的運(yùn)動(dòng)速率是$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gl}{6}}$；
（2）當(dāng)小物體速度v=$\sqrt{\frac{gl}{6}}$時(shí)，繩對(duì)物體的拉力是$\frac{3\sqrt{3}+1}{6}mg$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵找出物體的臨界情況，以及能夠熟練運(yùn)用牛頓第二定律求解．