Question

12．如圖所示，真空中以O(shè)′為圓心，半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)只存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，圓形區(qū)域的最下端與xOy坐標(biāo)系的x軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O，圓形區(qū)域的右端與平行y軸的虛線(xiàn)MN相切，在虛線(xiàn)MN右側(cè)x軸的上方足夠大的范圍內(nèi)有方向水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E．現(xiàn)從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿xOy平面在y軸兩側(cè)各30°角的范圍內(nèi)發(fā)射速率均為v₀帶正電粒子，粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)半徑也為r，已知粒子的電荷量為q，質(zhì)量為m，不計(jì)粒子的重力、粒子對(duì)電磁場(chǎng)的影響及粒子間的相互作用力，求：
（1）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（2）沿y軸正方向射入磁場(chǎng)的粒子，在磁場(chǎng)和電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間；
（3）若將勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向調(diào)為豎直向下，其他條件不變，則粒子達(dá)到x軸的最遠(yuǎn)位置與最近位置之間的距離．

Answer 1

分析 （1）由洛倫茲力提供向心力列方程求B的大�。�
（2）作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，確定粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角后可確定磁場(chǎng)中的時(shí)間，由牛頓第二定律和勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)間公式可求得電場(chǎng)的時(shí)間；
（3）當(dāng)粒子沿著y軸兩側(cè)30°角射入時(shí)，將會(huì)沿著水平方向射出磁場(chǎng)區(qū)域，之后垂直虛線(xiàn)MN分別從P'、Q'射入電場(chǎng)區(qū)，做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出粒子達(dá)到x軸的最遠(yuǎn)位置與最近位置之間的距離．

解答 解：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
由qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$  ①，
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qr}$ ②
（2）分析可知，帶電粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程如圖所示，

由粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$     ③
可知粒子第一次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t₁=$\frac{1}{4}$T    ④
t₁=$\frac{πr}{2{v}_{0}}$       ⑤
粒子在電場(chǎng)中的加速度a=$\frac{qE}{m}$ ⑥
粒子在電場(chǎng)中減速到0的時(shí)間：t₂=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{m{v}_{0}}{qE}$   ⑦
由對(duì)稱(chēng)性，可知運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t=2t₁+2t₂=$\frac{πr}{{v}_{0}}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$  ⑧
（3）由題意分析可知，

當(dāng)粒子沿著y軸兩側(cè)30°角射入時(shí)，將會(huì)沿著水平方向射出磁場(chǎng)區(qū)域，之后垂直虛線(xiàn)MN分別從P'、Q'射入電場(chǎng)區(qū)，做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，最終到達(dá)x軸的位置分別為最遠(yuǎn)位置P和最近位置Q．                                       
由幾何關(guān)系P'到x軸的距離y₁=1.5r
t₁=$\sqrt{\frac{2{y}_{1}}{a}}$=$\sqrt{\frac{3mr}{qE}}$ 
最遠(yuǎn)位置P坐標(biāo)為x₁=v₀t₁=v₀$\sqrt{\frac{3mr}{qE}}$           
Q'到x軸的距離y₂=0.5r            
t₂=$\sqrt{\frac{2{y}_{2}}{a}}$=$\sqrt{\frac{mr}{qE}}$ 
最近位置Q坐標(biāo)為x₂=v₀t₂=v₀$\sqrt{\frac{mr}{qE}}$                                    
所以，坐標(biāo)之差為△x=x₁-x₂=（$\sqrt{3}$-1）v₀$\sqrt{\frac{mr}{qE}}$；                     
答：（1）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{m{v}_{0}}{qr}$；
（2）沿y軸正方向射入磁場(chǎng)的粒子，在磁場(chǎng)和電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為$\frac{πr}{{v}_{0}}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$；
（3）則粒子達(dá)到x軸的最遠(yuǎn)位置與最近位置之間的距離為（$\sqrt{3}$-1）v₀$\sqrt{\frac{mr}{qE}}$．

點(diǎn)評(píng) 考查粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)力作用下做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，掌握兩種運(yùn)動(dòng)的處理規(guī)律，學(xué)會(huì)運(yùn)動(dòng)的分解與幾何關(guān)系的應(yīng)用．注意正確做出運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的重點(diǎn)．