Question

13．某實驗小組做了如下實驗，裝置如圖甲所示．豎直平面內(nèi)的光滑軌道由傾角為θ的斜面軌道AB和圓弧軌道BCD組成，將質(zhì)量m=0.1kg的小球，從軌道AB上高H處的某點靜止滑下，用壓力傳感器測出小球經(jīng)過圓弧最高點D時對軌道的壓力F，改變H的大小，可測出相應(yīng)的F大小，F(xiàn)隨H的變化關(guān)系如圖乙所示．g=10m/s²．求：

（1）圓軌道的半徑R．
（2）若小球從D點水平飛出后又落到斜面上，其中最低的位置與圓心O等高，求θ的值．

Answer 1

分析 （1）小球從A到C運動的過程中，只有重力做功，機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律和牛頓第二定律求出小球?qū)�軌道C點的壓力與H的關(guān)系式，然后結(jié)合F-H圖線求出圓軌道的半徑和星球表面的重力加速度；
（2）小球離開D點做平拋運動，初速度越小，水平方向運動距離越小，根據(jù)幾何關(guān)系知在斜面上下落的位置越低，根據(jù)通過D點的臨界條件求出θ的值．

解答 解：（1）小球經(jīng)過D點時，滿足豎直方向的合力提供圓周運動向心力即：
$F+mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$
從A到D的過程中只有重力做功，根據(jù)動能定理有：
$mg（H-2R）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
聯(lián)立解得：F=$m\frac{{v}^{2}}{R}-mg$=$\frac{2mg（H-2R）}{R}-mg$=$\frac{2mg}{R}H-5mg$
由題中給出的F-H圖象知斜率k=$\frac{0.5-0}{1.0-0.5}=10$N/m
即$\frac{2mg}{R}=10$N/m
所以可得R=0.2m
（2）小球離開D點做平拋運動，根據(jù)幾何關(guān)系知，小球落地點越低平拋的射程越小，即題設(shè)中小球落地點位置最低對應(yīng)小球離開D點時的速度最�。�
根據(jù)臨界條件知，小球能通過D點點時的最小速度為$v=\sqrt{gR}$
小球落地地點在斜面上與圓心等高，故可知小球平拋時下落的距離為R
所以小球平拋的射程S=$vt=v\sqrt{\frac{2R}{g}}=\sqrt{gR}•\sqrt{\frac{2R}{g}}=\sqrt{2}R$

由幾何關(guān)系可知，角θ=45°
答：（1）圓軌道的半徑R為0.2m；
（2）若小球從D點水平飛出后又落到斜面上，其中最低的位置與圓心O等高，θ的值為45°．

點評 本題先根據(jù)圓周運動和動能定理求得F-H的關(guān)系式，根據(jù)圖象由斜率求得半徑R，根據(jù)幾何關(guān)系求平拋落地點的臨界問題．