Question

12．如圖甲所示，固定粗糙斜面傾角為θ，一勁度系數(shù)為k的輕彈簧一端連在斜面底端的擋板上，當(dāng)彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)，另一端剛好在斜面上的A點(diǎn)．現(xiàn)用一可視為質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)量為m的物塊沿斜面向下壓彈簧至B點(diǎn)，且AB間距離為L(zhǎng)，然后由靜止釋放物塊，物塊沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的v-t圖象如圖乙所示，其中t₂-t₃間圖象是一條直線(xiàn)．已知重力加速度為g，圖中數(shù)據(jù)均為已知量．求：

（1）物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（2）彈簧被壓縮時(shí)具有的最大彈性勢(shì)能E_ρ；
（3）0-t₁時(shí)間內(nèi)彈簧的彈力做的功W．

Answer 1

分析 （1）t₂-t₃間的圖象是一條直線(xiàn)，說(shuō)明物塊向上做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，由速度公式即可求出加速度，然后結(jié)合受力分析即可求出動(dòng)摩擦因數(shù)；
（2）0-t₂時(shí)間內(nèi)彈簧做的功轉(zhuǎn)化為物塊的動(dòng)能與勢(shì)能，結(jié)合功能關(guān)系即可求出彈簧被壓縮時(shí)具有的最大彈性勢(shì)能E_ρ；
（3）由功能關(guān)系求出在t₁時(shí)刻彈簧的彈性勢(shì)能，結(jié)合功能關(guān)系即可求出0-t₁時(shí)間內(nèi)彈簧的彈力做的功W．

解答 解：（1）由圖可知，t₂-t₃間物塊向上做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則加速度：
a=$\frac{△v}{△t}=\frac{0-{v}_{2}}{{t}_{3}-{t}_{2}}$
t₂-t₃間物塊向上做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，物塊的加速度不變，則物塊只受到重力、支持力和摩擦力的作用，沿斜面方向：
ma=-mgsinθ-μmgcosθ
聯(lián)立得：μ=$\frac{gsinθ-\frac{{v}_{2}}{{t}_{3}-{t}_{2}}}{gcosθ}$
（2）結(jié)合以上的分析可知，在t₂時(shí)刻物塊開(kāi)始做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明t₂時(shí)刻物塊恰好到達(dá)A點(diǎn)，0-t₂時(shí)間內(nèi)彈簧的彈性勢(shì)能恰好都轉(zhuǎn)化為物塊的動(dòng)能、重力勢(shì)能和內(nèi)能，則：
${E}_{P}=mgLsinθ+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$+μmgcosθ•L=$2mgLsinθ+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{m{v}_{2}L}{{t}_{3}-{t}_{2}}$
（3）由圖可知，在t₁時(shí)刻物塊的速度最大，可知在t₁時(shí)刻物塊受到的合外力恰好為0，即：
k△x=mgsinθ+μmgcosθ
t₁-t₂時(shí)間內(nèi)只有重力、彈簧的彈力和摩擦力做功，由功能關(guān)系可得：
${E}_{P}′+\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=mg△x•sinθ+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$+μmgcosθ•△x
0-t₁時(shí)間內(nèi)彈簧的彈力做的功等于彈簧減少的彈性勢(shì)能，即：
W=△E_P=E_P-E_P′
聯(lián)立得：W=$2mgLsinθ+\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{m{v}_{2}L}{{t}_{3}-{t}_{2}}$$-\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{k}（2sinθ-\frac{{v}_{2}}{{t}_{3}-{t}_{2}}）^{2}$
答：（1）物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ是$\frac{gsinθ-\frac{{v}_{2}}{{t}_{3}-{t}_{2}}}{gcosθ}$；
（2）彈簧被壓縮時(shí)具有的最大彈性勢(shì)能是$2mgLsinθ+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{m{v}_{2}L}{{t}_{3}-{t}_{2}}$；
（3）0-t₁時(shí)間內(nèi)彈簧的彈力做的功W是$2mgLsinθ+\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{m{v}_{2}L}{{t}_{3}-{t}_{2}}$$-\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{k}（2sinθ-\frac{{v}_{2}}{{t}_{3}-{t}_{2}}）^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓第二定律、動(dòng)能定理和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵結(jié)合圖象理清滑塊在整個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解．