Question

18．如圖所示，半徑分別為R和r（R＞r）的甲乙兩光滑圓軌道安置在同一豎直平面內(nèi)，兩軌道之間由一光滑水平軌道CD相連，在水平軌道CD上有一輕彈簧被a、b兩個(gè)小球夾住，但不拴接．同時(shí)釋放兩小球，a、b球恰好能通過各自的圓軌道的最高點(diǎn)．
（1）已知小球a的質(zhì)量為m，求小球b的質(zhì)量為$\sqrt{\frac{R}{r}}$m 
（2）若m_a=m_b=m，且要求a、b都還能夠通過各自的最高點(diǎn)，則彈簧在釋放前至少具有的彈性勢能為5mgR．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律得出最高點(diǎn)的速度，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列出等式求解
（2）由動(dòng)量守恒定律得出速度關(guān)系，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解．

解答 解：（1）a球恰好能通過各自的圓軌道的最高點(diǎn)，由重力充當(dāng)向心力．則有：
 mg=m$\frac{{v}_{a}^{2}}{R}$
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}m{v}_{a}^{2}$=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{a}^{′2}$
解得：v_a=$\sqrt{5gR}$；
同理可得：v_b=$\sqrt{5gr}$
取向左為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：mv_a-m_bv_b=0
所以：m_b=$\sqrt{\frac{R}{r}}$m．
（2）由題意分析知，應(yīng)該按照a球在軌道最頂點(diǎn)具有臨界速度這一條件計(jì)算．依照上面結(jié)果可得：
  v_a=$\sqrt{5gR}$；
  mv_a=m_bv_b
所以有：E_p=2×$\frac{1}{2}m{v}_{a}^{2}$=5mgR．
故答案為：$\sqrt{\frac{R}{r}}$m，5mgR．

點(diǎn)評(píng) 解決該題關(guān)鍵能判斷出小球能通過最高點(diǎn)的條件，然后根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律聯(lián)立列式求解．