Question

9．如圖，坐標(biāo)空間中有場強為E的勻強電場和磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場，y軸為兩種場的分界線，圖中虛線為磁場區(qū)域的右邊界．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為-q的帶電粒子從電場中坐標(biāo)（-l，0）處，以初速度v₀沿x軸正方向開始運動，且己知l=$\frac{{\sqrt{3}m{v_0}^2}}{qE}$（重力不計）．試求：
（1）帶電粒子進入磁場時的速度大小
（2）若要使帶電粒子能穿越磁場區(qū)域而不再返回電場中，磁場的寬度d應(yīng)滿足的條件．并求出滿足上述條件下，粒子在磁場中運動的最長時間．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中受電場力作用產(chǎn)生加速度，根據(jù)題意知粒子在電場中做類平拋運動，利用運動的合成與分解的方法處理類平拋問題，求出粒子進入磁場時的速度；
（2）畫出粒子在磁場中運動臨界條件時的軌跡，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力和軌跡的幾何知識求解磁場寬度應(yīng)該滿足的條件，根據(jù)粒子做圓周運動的周期公式與粒子轉(zhuǎn)過的圓心角求出粒子的運動時間．

解答 解：（1）帶電粒子在電場中做類平拋運動，
水平方向：l=v₀t，
豎直方向：v_y=at=$\frac{qE}{m}$t，
速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$，
解得：v_y=$\sqrt{3}$v₀，
v=2v₀，
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\sqrt{3}$，
則：θ=60°；
（2）粒子進入磁場后在洛侖茲力作用下做圓周運動，粒子恰好離開右側(cè)邊界時運動軌跡如圖所示：

由幾何知識得：r+rcos30°=d，
解得：d=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$r，
粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，牛頓第二定律得：
qvB=$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$，
則：d=$\frac{（2+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}$，若要使帶電粒子能穿越磁場區(qū)域而不再返回電場中，
磁場的寬度d應(yīng)滿足的條件是：d≤$\frac{（2+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}$；
在粒子軌道半徑一定時，粒子運動軌跡對應(yīng)的弦長越長，粒子轉(zhuǎn)過的圓心角越大，
粒子的運動時間最長，當(dāng)d=$\frac{（2+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}$時，粒子運動時間最長，轉(zhuǎn)過的圓心角：α=150°，
粒子做圓周運動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子的最長運動時間：t=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{150°}{360°}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{5πm}{6qB}$；
答：（1）帶電粒子進入磁場時的速度大小為2v₀．
（2）若要使帶電粒子能穿越磁場區(qū)域而不再返回電場中，磁場的寬度d應(yīng)滿足的條件是：d≤$\frac{（2+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}$．粒子在磁場中運動的最長時間為$\frac{5πm}{6qB}$．

點評 本題考查帶電粒子在勻強電場中做類平拋運動和在勻強磁場中做勻速圓周運動，在電場中掌握類平拋問題的處理方法，在磁場中運動要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運動軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了