Question

4．如圖所示，水平面上有一個(gè)高為d的木塊，木塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.1．由均勻金屬材料制成的邊長(zhǎng)為2d、有一定電阻的正方形單匝線框，豎直固定在木塊上表面，它們的總質(zhì)量為m．在木塊右側(cè)有兩處相鄰的邊長(zhǎng)均為2d的正方形區(qū)域，正方形底邊離水平面高度為2d．兩區(qū)域各有一水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)穿過，其中一個(gè)方向垂直于紙面向里，另一個(gè)方向垂直于紙面向外，區(qū)域Ⅱ中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為區(qū)域Ⅰ中的3倍．木塊在水平外力作用下勻速通過這兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域．已知當(dāng)線框右邊MN剛進(jìn)入Ⅰ區(qū)時(shí)，外力大小恰好為F₀=$\frac{3}{20}$mg，此時(shí)M點(diǎn)電勢(shì)高于N點(diǎn)，試求：
（1）區(qū)域Ⅰ中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向如何？
（2）線框右邊MN剛進(jìn)入Ⅰ區(qū)時(shí)所受安培力大��；
（3）MN剛到達(dá)Ⅱ區(qū)正中間時(shí)，摩擦力的大��；
（4）MN在Ⅱ區(qū)運(yùn)動(dòng)過程中拉力做的功W？

Answer 1

分析 （1）已知當(dāng)線框右邊MN剛進(jìn)入Ⅰ區(qū)時(shí)，M點(diǎn)電勢(shì)高于N點(diǎn)，說明MN中感應(yīng)電流方向由N到M，由右手定則判斷磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向．
（2）木塊和線圈整體水平方向受重力、滑動(dòng)摩擦力和拉力，根據(jù)平衡條件列式求解安培力．
（3）MN剛到達(dá)Ⅱ區(qū)正中間時(shí)，線框左右兩邊切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，求出總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，得到感應(yīng)電流．由于線框上邊各有一半處在磁場(chǎng)Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)中，所以分別受到向上與向下的安培力作用，根據(jù)豎直方向力平衡求出地面的支持力，由水平方向力平衡求出拉力F．
（4）隨著MN在磁場(chǎng)Ⅱ區(qū)的運(yùn)動(dòng)，木塊受到的支持力N_x隨發(fā)生的位移x而變化，由平衡條件得到支持力與x的關(guān)系，求出支持力的平均值，即可求得摩擦力的平均值，再由功的公式計(jì)算拉力做的功W．

解答 解：（1）由題，當(dāng)線框右邊MN剛進(jìn)入Ⅰ區(qū)時(shí)，M點(diǎn)電勢(shì)高于N點(diǎn)，說明MN中感應(yīng)電流方向由N到M，由右手定則判斷知，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向向外；
（2）線框右邊MN剛進(jìn)入Ⅰ區(qū)時(shí)，受重力、支持力、拉力、滑動(dòng)摩擦力和安培力，根據(jù)平衡條件，有：
F₀-F_安-μmg=0
解得：F_安=0.05mg
（3）MN剛到達(dá)Ⅱ區(qū)正中間時(shí)，流過線框的電流為：
$I'=\frac{3Bdv+Bdv}{R}=\frac{4Bdv}{R}=4I$
由于線框上邊各有一半處在磁場(chǎng)Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)中，所以分別受到向上與向下的安培力作用，此時(shí)木塊受到的支持力N為：
$N=mg+3BI'd-BI'd=mg+8{F_A}=\frac{7}{5}mg$
故有：f=μN(yùn)=0.14mg
（4）隨著MN在磁場(chǎng)Ⅱ區(qū)的運(yùn)動(dòng)，木塊受到的支持力N_x隨發(fā)生的位移x而變化，有：
N_x=mg+3BI'x-BI'（2d-x）=mg-2BI'd+4BI'x
由于N_x隨位移x線性變化，因此MN在Ⅱ區(qū)運(yùn)動(dòng)過程中木塊受到的平均支持力為：
$\overline N=mg-2BI'd+\frac{4BI'•2d}{2}=mg+2BI'd=\frac{7}{5}mg$
故有：${F_A}'=BI'd+3BI'd=16{F_A}=\frac{4}{5}mg$
此過程中拉力做的功W為：
$W={F_A}'•2d+μ\overline N•2d=\frac{4}{5}mg•2d+\frac{7}{50}mg•2d=\frac{47}{25}mgd$
答：（1）區(qū)域Ⅰ中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向向外；
（2）線框右邊MN剛進(jìn)入Ⅰ區(qū)時(shí)所受安培力大小為0.05mg；
（3）MN剛到達(dá)Ⅱ區(qū)正中間時(shí)，摩擦力的大小為0.14mg；
（4）MN在Ⅱ區(qū)運(yùn)動(dòng)過程中拉力做的功W為$\frac{47}{25}mgd$．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與電路、力學(xué)的綜合，關(guān)鍵掌握楞次定律、法拉第電磁感應(yīng)、歐姆定律等電磁感應(yīng)的基本規(guī)律，要注意線框通過兩磁場(chǎng)交界處時(shí)左右兩邊都切割磁感線，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是串聯(lián)關(guān)系．