Question

16．如圖（甲）是游樂場中雙環(huán)過山車的實物圖片，圖（乙）是過山車的原理圖．在原理圖中半徑分別為R₁=2.0m和R₂=8.0m的兩個光滑圓形軌道被固定在傾角為α=37°斜直軌道面上的Q、Z兩點處（Q、Z是圓軌道的接口，也是軌道間的切點），圓形軌道與斜直軌道之間圓滑連接，且在同一豎直面內．PQ之距L₁=6m，QZ之距L₂=18m，兩圓形軌道的最高點A、B均與P點平齊．現使一輛較小的過山車（視作質點）從P點以一定初速度沿斜面向下運動．已知斜軌道面與小車間的動摩擦因數為μ=$\frac{1}{24}$，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．

（1）若車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點A處，則其在P點的初速度應為多大？
（2）若車在P處的初速度變?yōu)?0m/s，則小車經過第二個軌道的最低點D處時對軌道的壓力是重力的幾倍？計算說明車有無可能出現脫軌現象？

Answer 1

分析 （1）小車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點A處時，由重力提供向心力，根據牛頓第二定律求出小球經過A點的速度．由幾何知識求出P、Q間的距離S_PQ，運用動能定理研究小球從P到A的過程，求解P點的初速度．
（2）先由動能定理求出小車通過D點時的速度，再由牛頓運動定律求對軌道的壓力．
根據小車在P點的初速度10m/s，與第一問中v₀比較，分析小車能否安全通過圓弧軌道O₁．若小車恰能通過B點，由重力提供向心力，由牛頓第二定律列方程，求出小車通過B點的臨界速度，根據動能定理求出小車在P點的臨界速度，再確定小車能否安全通過兩個圓形軌道．

解答 解：（1）小車恰好過A點，由牛頓第二定律有 mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{{R}_{1}}$  ①
小球P到A的過程中，由動能定理有
  $\frac{1}{2}$mv_A²-$\frac{1}{2}$mv₀²=-μmgcos37°L₁  
聯立解得 v₀=2$\sqrt{6}$ m/s
（2）小球P到D的過程中，由動能定理得
  $\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv₀²=2mgR₂-μmgcos37°（L₁+L₂）  ③
在D點，有 F-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{{R}_{2}}$  ④
解得 F=6.05mg
若車在P處的初速度變?yōu)?0m/s，因10m/s＞2√6 m/s，故車不會在第一個圓軌道脫軌．
判車能否到達最高點B處：假定車恰能到達B處，所需的初速度為v₀′，有：
 mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{{R}_{2}}$ ⑥；
又有 $\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv₀^/2=-μmgcos37°（L₁+L₂）⑦
得 v₀′=4$\sqrt{6}$ m/s，v₀＞v₀′，綜合分析，車不會脫軌．
答：
（1）若小車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點A處，則其在P點的初速度應為2$\sqrt{6}$m/s；
（2）若小車在P點的初速度為10m/s，車不會脫軌．

點評 對于物體在豎直平面內光滑圓軌道最高點的臨界速度v=$\sqrt{gr}$，要在理解的基礎上加強記憶，圓周運動往往與動能定理、機械能守恒等進行綜合．本題難點在于運用幾何知識求距離．