Question

4．如圖所示，A球放在一個(gè)傾角為30°的固定的光滑斜面上，A、B兩小球由繞過(guò)輕質(zhì)定滑輪的細(xì)線相連，B、C兩小球在豎直方向上通過(guò)勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，C球放在水平地面上．現(xiàn)用手控制住A，并使細(xì)線剛好伸直但無(wú)拉力作用，并保證滑輪左側(cè)細(xì)線豎直、右側(cè)細(xì)線與斜面平行．已知B、C的質(zhì)量均為m，重力加速度g，細(xì)線與滑輪之間的摩擦不計(jì)，開始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)．釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時(shí)C恰好離開地面．已知彈簧拉伸和壓縮形變量相同時(shí)，其儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能相同，試求：
（1）A球的質(zhì)量m_A多大？
（2）A球能獲得的最大速度是多少？

Answer 1

分析 （1）C球剛離開地面時(shí)，彈簧的彈力等于C的重力，根據(jù)牛頓第二定律知B的加速度為零，B、C加速度相同，分別對(duì)B、A受力分析，列出平衡方程，可以求出A的質(zhì)量．
（2）對(duì)B、C組成的系統(tǒng)由動(dòng)能定理可以求出最大速度．

解答 解：（1）當(dāng)A所受合力為零時(shí)，速度最大，此時(shí)：a_A=a_B=a_C=0，
此時(shí)C剛離開地面時(shí)，由平衡條件得：
對(duì)C：kx₂=mg，
對(duì)B：T-kx₂-mg=0，
對(duì)A：m_Agsin30°-T=0，
解得：m_A=4m；
（2）開始時(shí)系統(tǒng)靜止，且線上無(wú)拉力，
對(duì)B有：kx₁=mg，
解得：x₁=x₂=$\frac{mg}{k}$，
則從釋放A至C剛離開地面過(guò)程中，彈性勢(shì)能變化量為零，此過(guò)程中由動(dòng)能定理得：
m_Ag（x₁+x₂）sin30°-mg（x₁+x₂）=$\frac{1}{2}$（m_A+m）v²-0，解得：v=2g$\sqrt{\frac{m}{5k}}$；
答：（1）A球的質(zhì)量m_A為4m．
（2）A球能獲得的最大速度是2g$\sqrt{\frac{m}{5k}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是對(duì)三個(gè)小球進(jìn)行受力分析，確定出它們的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，再結(jié)合平衡條件和動(dòng)能定理即可正確解題．