Question

14．如圖（1）所示，平行金屬板板間距離為d，緊靠金屬板右端豎直放置一絕緣擋板，擋板上正對平行金屬板中線處有一小孔，擋板右側(cè)距擋板L處豎直放置一熒光屏，熒光屏與金屬板中線相交于O點，整個裝置處在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．現(xiàn)在兩金屬板間加一按圖（2）所示規(guī)律變化的電壓，并從t=0時刻開始，有大量的、各種不同速率的相同離子從金屬板左側(cè)沿中線連續(xù)不斷的射入，已知這些離子通過金屬板所用的時間極短，以至于每個離子通過金屬板的過程中，板間電場可認(rèn)為是恒定的．受電、磁場的影響，這些離子有的被擋板擋住，有的能沿直線通過擋板上的小孔而進(jìn)入擋板右側(cè)的區(qū)域，若從小孔射出的離子剛好能全部打在熒光屏上（不計離子重力）．
（1）求這些離子的比荷；
（2）若調(diào)節(jié)電壓變化的周期，使得在電壓從U₀到2U₀變化的一個周期內(nèi)，打到熒光屏上離O點最近和最遠(yuǎn)兩處的離子同時到達(dá)熒光屏，則交變電壓的周期T₀應(yīng)為多大？

Answer 1

分析 （1）從小孔射出的離子在電磁場中做勻速直線運動，受力平衡．離子進(jìn)入磁場后，做勻速圓周運動，由于離子剛好能全部打在熒光屏上，所以軌道半徑等于L．根據(jù)平衡條件和圓周運動半徑公式結(jié)合解答．
（2）根據(jù)上題結(jié)果可得到電壓為2U₀時進(jìn)入磁場后做勻速圓周運動離子的半徑R₂，利用幾何關(guān)系可判定，此種速率的離子在磁場中運動$\frac{1}{12}$圓弧后打到熒光屏上．根據(jù)兩個粒子運動時間相等，列式解答．

解答 解：（1）設(shè)離子質(zhì)量為m，帶電量為q，電壓為U₀時沿直線射出的離子速度為v₁，則：Bqv₁=$\frac{{U}_{0}}rz9sywx$q   ①
離子進(jìn)入磁場后，做勻速圓周運動，設(shè)半徑為R₁，則：R₁=$\frac{m{v}_{1}}{qB}$  ②
根據(jù)題意，電壓為U₀時這種速率的離子在磁場中恰好運動$\frac{1}{4}$圓弧后打到熒光屏上．
則有：R₁=L   ③
解上述方程組可得：$\frac{q}{m}$=$\frac{{U}_{0}}{{B}^{2}Ld}$  ④
（2）電壓為2U₀時，從小孔射出離子的速度為v₂，進(jìn)入磁場后做勻速圓周運動的半徑為R₂，參照①②③式可得：
 R₂=2L    ⑤
利用幾何關(guān)系可判定，此種速率的離子在磁場中運動$\frac{1}{12}$圓弧后打到熒光屏上．設(shè)離子在磁場中運動周期為T，則：T=$\frac{2π{R}_{1}}{{v}_{1}}$   ⑥
設(shè)t=0時刻進(jìn)入電場的離子到達(dá)熒光屏上所用時間為t₁，t=T₀時刻進(jìn)入電場的離子到達(dá)熒光屏上所用總時間為t₂，則：
  t₁=$\frac{T}{4}$  ⑦
  t₂=T₀+$\frac{T}{12}$ ⑧
  t₁=t₂ ⑨
利用①③⑥⑦⑧⑨可解得：T₀=$\frac{πBLd}{3{U}_{0}}$  ⑩
答：
（1）這些離子的比荷為$\frac{{U}_{0}}{{B}^{2}Ld}$；
（2）交變電壓的周期T₀應(yīng)為$\frac{πBLd}{3{U}_{0}}$．

點評 本題考查了帶電粒子在速度選擇器運動和磁場中偏轉(zhuǎn)問題，掌握各個過程的規(guī)律，知道速度選擇器的原理，分析粒子運動時間與周期的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．