Question

2．一小船渡河，河寬d=180m，水流速度v₁=2.5m/s．若船在靜水中的速度為v₂=5m/s，求：
①小船渡河的最短時間是多少？此過程中位移是多少？
②欲使船渡河的航程最短，船頭應朝什么方向？用多長時間？

Answer 1

分析 當靜水速與河岸垂直時，渡河時間最短；當合速度與河岸垂直時，渡河航程最短，結合運動學公式與平行四邊形定則，即可求解．

解答 解：將船實際的速度（合速度）分解為垂直河岸方向和平行河岸方向的兩個分速度，垂直分速度影響    渡河的時間，而平行分速度只影響船在平行河岸方向的位移．
（1）若v₂=5 m/s．
     
①欲使船在最短時間內(nèi)渡河，船頭應朝垂直河岸方向．當船頭垂直河岸時，如圖所示，合速度為傾斜方向，垂直分速度為v₂=5 m/s．
t=$\fracy5nb630{{v}_{⊥}}$=$\fracotexvyf{{v}_{2}}$=$\frac{180}{5}$ s=36 s，
v_合=$\sqrt{{5}^{2}+2．{5}^{2}}$=$\frac{5}{2}$$\sqrt{5}$ m/s，
x=v_合t=90$\sqrt{5}$ m．
②欲使船渡河航程最短，合速度應沿垂直河岸方向．船頭應朝圖中的v₂方向．
     
由v₂sin α=v₁得α=30°．
所以當船頭與上游河岸成60°時航程最短．
t=$\fracbhbqu1k{{v}_{⊥}}$=$\fracaazd0y2{{v}_{2}cos30°}$=$\frac{180}{\frac{5}{2}\sqrt{3}}$ s=24 $\sqrt{3}$ s．
答：①小船渡河的最短時間是36 s，此過程中位移是90$\sqrt{5}$ m；
②欲使船渡河的航程最短，船頭應朝與上游河岸成60°方向，用24 $\sqrt{3}$ s時間．

點評 解決本題的關鍵知道合運動與分運動具有等時性，當靜水速與河岸垂直，渡河時間最短；當合速度與河岸垂直，渡河航程最短，注意時間最短與位移最短渡河的不同．