Question

17．真空中有如圖所示的矩形區(qū)域，該區(qū)域總高度為2h、總寬度為4h，其中上半部分有磁感應(yīng)強度大小為B、方向垂直紙面向里的水平勻強磁場，下半部分有方向豎直向下的勻強電場，以水平分界線為x軸，正中心為坐標(biāo)原點O，在x=2.5h處有一與x軸垂直的足夠大的光屏（圖中未畫出），質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電粒子不斷地從下邊界中點P處由靜止開始經(jīng)過勻強電場加速，通過坐標(biāo)原點后射入勻強磁場中，粒子間的相互作用和粒子重力均不計．
（1）若粒子從P點開始到第二次通過x軸時，恰好過x=h的點A，求加速電場的場強E₁．
（2）若要求粒子從磁場的右側(cè)邊界射出，求符合條件的加速電場場強E₂的范圍．
（3）若將光屏向x軸正方向平移，粒子打在屏上的位置始終不改變，則加速電場的場強E₃多大？粒子在電場和磁場中運動的總時間多長？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求得經(jīng)電場加速后粒子的速度，由幾何關(guān)系知粒子恰好不從上邊界飛出說明粒子在磁場中圓周運動的半徑剛好等于磁場的寬度h，根據(jù)半徑公式求解即可；
（2）根據(jù)動能定理和半徑公式計算出粒子圓周運動的半徑，再由幾何關(guān)系確定粒子離開磁場區(qū)域處的坐標(biāo)值即可，然后求出符合條件的加速電場場強E₂的范圍；
（3）粒子打在屏上的位置始終不變，說明粒子打在屏上時的速度方向與x軸平行，根據(jù)粒子運動可能軌跡確定加速電場的大小及粒子在電場和磁場中運動的總時間即可．注意粒子圓周運動的周期性．

解答 解：（1）粒子在電場中加速
$q{E}_{1}h=\frac{1}{2}m{v}^{2}$…（1）
粒子在磁場中旋轉(zhuǎn)
$qvB=\frac{m{v}^{2}}{{r}_{1}}$…（2）
由幾何關(guān)系得粒子做圓周運動的半徑
${r}_{1}=\frac{1}{2}h$…（3）
三式聯(lián)立可得
${E}_{1}=\frac{q{B}^{2}h}{8m}$…（4）
（2）粒子能從磁場的右側(cè)邊界射出時，須滿足
r₂≤h…（5）
粒子在電場中加速
$q{E}_{2}h=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$…（6）
粒子在磁場中旋轉(zhuǎn)
$q{v}_{2}B=\frac{m{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$…（7）
各式聯(lián)立可得${E}_{2}≤\frac{q{B}^{2}h}{2m}$…（8）
（3）粒子打在屏上的位置始終不變，則粒子離開磁場時速度方向必平行于x軸正向，由幾何關(guān)系知，進(jìn)入勻強磁場后做勻速圓周運動的半徑
2h=（2n+1）r₃，n=1，2，3…（9）
帶電粒子在電場中加速過程
$q{E}_{3}h=\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$…（10）
$q{v}_{3}B=\frac{{mv}_{3}^{2}}{{r}_{3}}$…（11）
三式聯(lián)立得${E}_{3}=\frac{2q{B}^{2}h}{（2n+1）^{2}m}$n=1，2，3…（12）
從O點進(jìn)入磁場后先運動半個圓周再返回電場減速到0又返回磁場時速度仍是v₃，如此周期性運動最后從磁場的右邊界水平射出．

帶電粒子在磁場中運動周期
$T=\frac{2πm}{qB}$…（13）
帶電粒子在磁場中運動總時間
${t}_{1}=（2n+1）•\frac{T}{4}$，n=1，2，3…（14）
帶電粒子在電場中運動總時間
${t}_{2}=（2n+1）•\frac{h}{\frac{1}{2}{v}_{3}}=2（2n+1）•\frac{h}{{v}_{3}}$，n=1，2，3…（15）
帶電粒子在電磁場中運動總時間
t=t₁+t₂=$\frac{（2n+1）（4n+m+2）}{2qB}$n=1，2，3…（16）
答：（1）若粒子從P點開始到第二次通過x軸時，恰好過x=h的點A，加速電場的場強$\frac{q{B}^{2}h}{8m}$．
（2）若要求粒子從磁場的右側(cè)邊界射出，求符合條件的加速電場場強E₂的范圍${E}_{2}≤\frac{q{B}^{2}h}{2m}$．
（3）若將光屏向x軸正方向平移，粒子打在屏上的位置始終不改變，則加速電場的場強E₃多大？粒子在電場和磁場中運動的總時間是$\frac{（2n+1）（4n+m+2）}{2qB}$，n=1，2，3．

點評 解決本題的關(guān)鍵是掌握帶電粒子在加速電場中的運動及由動能定理求得經(jīng)加速電場后的速度，粒子在磁場中在洛倫茲力作用下做圓周運動，要考慮到由條件作出粒子運動軌跡，由軌跡確定粒子運動的半徑，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解，要注意圓周運動的周期性．