Question

5．如圖所示，豎直放置的半徑為r的光滑圓軌道被固定在水平地面上，最低點(diǎn)處有一小球（半徑比r小很多），現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v₀，則要使小球不脫離圓軌道運(yùn)動(dòng)，v₀應(yīng)當(dāng)滿足（　　）

• A． v₀≥0
• B． v₀≥$\sqrt{gr}$
• C． v₀≥$\sqrt{5gr}$
• D． v₀≤$\sqrt{2gr}$

Answer 1

分析 要使小球不脫離圓軌道，要求能夠通過(guò)最高點(diǎn)，或不通過(guò)四分之一圓弧軌道，結(jié)合牛頓第二定律和動(dòng)能定理求出初速度的范圍．

解答 解：要使小球不脫離軌道，要求能夠通過(guò)最高點(diǎn)，或不通過(guò)四分之一圓弧軌道，
小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有：$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{r}$
解得最高點(diǎn)的最小速度為：${v}_{1}=\sqrt{gr}$，
根據(jù)動(dòng)能定理得：$-mg•2r=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{01}}^{2}$
解得最低點(diǎn)的最小速度為：${v}_{01}=\sqrt{5gr}$．
若小球不通過(guò)四分之一圓弧軌道，臨界情況是在四分之一軌道處的速度為零，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$-mgr=0-\frac{1}{2}m{{v}_{02}}^{2}$，
解得最低點(diǎn)的最大速度為：${v}_{02}=\sqrt{2gr}$，
可知最低點(diǎn)的初速度范圍為：${v}_{0}≥\sqrt{5gr}$，或${v}_{0}≤\sqrt{2gr}$，故CD正確，AB錯(cuò)誤．
故選：CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)和動(dòng)能定理的綜合運(yùn)用，知道最高點(diǎn)的臨界情況，注意求解速度范圍時(shí)，不越過(guò)四分之一圓弧軌道也不會(huì)脫離圓軌道．