Question

17．如圖所示，串聯(lián)阻值為R的閉合電路中，面積為S的正方形區(qū)域abcd存在一個方向垂直紙面向外、磁感應強度均勻增加且變化率為k的勻強磁場B_t，abcd的電阻值也為R，其他電阻不計．電阻兩端又向右并聯(lián)一個平行板電容器．在靠近M板處由靜止釋放一質量為m、電量為+q的帶電粒子（不計重力），經過N板的小孔P進入一個垂直紙面向內、磁感應強度為B的圓形勻強磁場，已知該圓形勻強磁場的半徑為r=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{mSk}{q}}$．求：
（1）電容器獲得的電壓；
（2）帶電粒子從小孔P射入勻強磁場時的速度；
（3）帶電粒子在圓形磁場運動時的軌道半徑及在磁場運動時的時間．

Answer 1

分析 （1）由法拉第電磁感應定律可求得閉合電路的電動勢，由閉合電路的歐姆定律可求得電路中的電流，則可求得電阻兩端的電壓，由電容器的連接可求得電容器的電壓；
（2）帶電粒子在電容器中做勻加速直線運動，由動能定理可求得粒子射入磁場時的速度；
（3）粒子進入磁場后做勻速圓周運動，由洛侖茲力充當向心力可求得粒子轉動半徑；由幾何關系可求得粒子的偏向角，然后結合$\frac{t}{T}=\frac{θ}{2π}$即可求出時間．

解答 解：（1）根據法拉第電磁感應定律，閉合電路的電動勢為E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△BS}{△t}$=Sk；
根據閉合電路的歐姆定律，閉合電路的電流為I=$\frac{E}{2R}$=$\frac{Sk}{2R}$
電阻獲得的電壓U₂=IR=$\frac{1}{2}$Sk
因電容器與電阻是并聯(lián)的，故電容器獲得的電壓U=U₂=$\frac{1}{2}$Sk；
（2）帶電粒子在電容器中受到電場力作用而做勻加速直線運動，根據動能定理，有：
qU=$\frac{1}{2}$mv²
得到帶電粒子從小孔P射入勻強磁場時的速度為v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$=$\sqrt{\frac{qSk}{m}}$；
（3）帶電粒子進入圓形勻強磁場后，洛倫茲力提供其做勻速圓周運動的向心力，有：Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R′}$
得帶電粒子在圓形勻強磁場運動的半徑為R′=$\frac{mv}{Bq}$=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{mSk}{q}}$
又圓形磁場的半徑r=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{mSk}{q}}$，即R′=r
根據左手定則，帶電粒子在圓形磁場向右轉過$\frac{1}{4}$的圓周（如右圖所示），故它離開磁場時的偏轉角為90°．
粒子在磁場中運動的周期：$\left.\begin{array}{l}{T=\frac{2π{R}_{1}}{v}=\frac{2πm}{qB}}\end{array}\right.$
所以，粒子在磁場中運動的時間：$\left.\begin{array}{l}{t=\frac{1}{4}T=\frac{πm}{2qB}}\end{array}\right.$
答：（1）電容器獲得的電壓是$\frac{1}{2}$Sk；
（2）帶電粒子從小孔P射入勻強磁場時的速度是$\sqrt{\frac{qSk}{m}}$；
（3）帶電粒子在圓形磁場運動時的軌道半徑是r，在磁場運動時的時間是$\frac{πm}{qB}$．

點評 帶電粒子在電磁場中的運動，要注意靈活選擇物理規(guī)律，電場中一般由動能定理或類平拋的規(guī)律求解，而磁場中粒子做圓周運動，應由向心力公式及幾何關系求解．