Question

17．如圖所示，串聯(lián)阻值為R的閉合電路中，面積為S的正方形區(qū)域abcd存在一個(gè)方向垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度均勻增加且變化率為k的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B_t，abcd的電阻值也為R，其他電阻不計(jì)．電阻兩端又向右并聯(lián)一個(gè)平行板電容器．在靠近M板處由靜止釋放一質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子（不計(jì)重力），經(jīng)過(guò)N板的小孔P進(jìn)入一個(gè)垂直紙面向內(nèi)、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知該圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的半徑為r=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{mSk}{q}}$．求：
（1）電容器獲得的電壓；
（2）帶電粒子從小孔P射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)的速度；
（3）帶電粒子在圓形磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌道半徑及在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）由法拉第電磁感應(yīng)定律可求得閉合電路的電動(dòng)勢(shì)，由閉合電路的歐姆定律可求得電路中的電流，則可求得電阻兩端的電壓，由電容器的連接可求得電容器的電壓；
（2）帶電粒子在電容器中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可求得粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度；
（3）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得粒子轉(zhuǎn)動(dòng)半徑；由幾何關(guān)系可求得粒子的偏向角，然后結(jié)合$\frac{t}{T}=\frac{θ}{2π}$即可求出時(shí)間．

解答 解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，閉合電路的電動(dòng)勢(shì)為E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△BS}{△t}$=Sk；
根據(jù)閉合電路的歐姆定律，閉合電路的電流為I=$\frac{E}{2R}$=$\frac{Sk}{2R}$
電阻獲得的電壓U₂=IR=$\frac{1}{2}$Sk
因電容器與電阻是并聯(lián)的，故電容器獲得的電壓U=U₂=$\frac{1}{2}$Sk；
（2）帶電粒子在電容器中受到電場(chǎng)力作用而做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
qU=$\frac{1}{2}$mv²
得到帶電粒子從小孔P射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)的速度為v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$=$\sqrt{\frac{qSk}{m}}$；
（3）帶電粒子進(jìn)入圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)后，洛倫茲力提供其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有：Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R′}$
得帶電粒子在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的半徑為R′=$\frac{mv}{Bq}$=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{mSk}{q}}$
又圓形磁場(chǎng)的半徑r=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{mSk}{q}}$，即R′=r
根據(jù)左手定則，帶電粒子在圓形磁場(chǎng)向右轉(zhuǎn)過(guò)$\frac{1}{4}$的圓周（如右圖所示），故它離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)角為90°．
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期：$\left.\begin{array}{l}{T=\frac{2π{R}_{1}}{v}=\frac{2πm}{qB}}\end{array}\right.$
所以，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：$\left.\begin{array}{l}{t=\frac{1}{4}T=\frac{πm}{2qB}}\end{array}\right.$
答：（1）電容器獲得的電壓是$\frac{1}{2}$Sk；
（2）帶電粒子從小孔P射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)的速度是$\sqrt{\frac{qSk}{m}}$；
（3）帶電粒子在圓形磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌道半徑是r，在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)的時(shí)間是$\frac{πm}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要注意靈活選擇物理規(guī)律，電場(chǎng)中一般由動(dòng)能定理或類(lèi)平拋的規(guī)律求解，而磁場(chǎng)中粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)由向心力公式及幾何關(guān)系求解．