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17.如圖所示,串聯(lián)阻值為R的閉合電路中,面積為S的正方形區(qū)域abcd存在一個方向垂直紙面向外、磁感應強度均勻增加且變化率為k的勻強磁場Bt,abcd的電阻值也為R,其他電阻不計.電阻兩端又向右并聯(lián)一個平行板電容器.在靠近M板處由靜止釋放一質量為m、電量為+q的帶電粒子(不計重力),經過N板的小孔P進入一個垂直紙面向內、磁感應強度為B的圓形勻強磁場,已知該圓形勻強磁場的半徑為r=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{mSk}{q}}$.求:
(1)電容器獲得的電壓;
(2)帶電粒子從小孔P射入勻強磁場時的速度;
(3)帶電粒子在圓形磁場運動時的軌道半徑及在磁場運動時的時間.

分析 (1)由法拉第電磁感應定律可求得閉合電路的電動勢,由閉合電路的歐姆定律可求得電路中的電流,則可求得電阻兩端的電壓,由電容器的連接可求得電容器的電壓;
(2)帶電粒子在電容器中做勻加速直線運動,由動能定理可求得粒子射入磁場時的速度;
(3)粒子進入磁場后做勻速圓周運動,由洛侖茲力充當向心力可求得粒子轉動半徑;由幾何關系可求得粒子的偏向角,然后結合$\frac{t}{T}=\frac{θ}{2π}$即可求出時間.

解答 解:(1)根據法拉第電磁感應定律,閉合電路的電動勢為E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△BS}{△t}$=Sk;
根據閉合電路的歐姆定律,閉合電路的電流為I=$\frac{E}{2R}$=$\frac{Sk}{2R}$
電阻獲得的電壓U2=IR=$\frac{1}{2}$Sk
因電容器與電阻是并聯(lián)的,故電容器獲得的電壓U=U2=$\frac{1}{2}$Sk;
(2)帶電粒子在電容器中受到電場力作用而做勻加速直線運動,根據動能定理,有:
qU=$\frac{1}{2}$mv2
得到帶電粒子從小孔P射入勻強磁場時的速度為v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$=$\sqrt{\frac{qSk}{m}}$;
(3)帶電粒子進入圓形勻強磁場后,洛倫茲力提供其做勻速圓周運動的向心力,有:Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R′}$
得帶電粒子在圓形勻強磁場運動的半徑為R′=$\frac{mv}{Bq}$=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{mSk}{q}}$
又圓形磁場的半徑r=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{mSk}{q}}$,即R′=r
根據左手定則,帶電粒子在圓形磁場向右轉過$\frac{1}{4}$的圓周(如右圖所示),故它離開磁場時的偏轉角為90°.
粒子在磁場中運動的周期:$\left.\begin{array}{l}{T=\frac{2π{R}_{1}}{v}=\frac{2πm}{qB}}\end{array}\right.$
所以,粒子在磁場中運動的時間:$\left.\begin{array}{l}{t=\frac{1}{4}T=\frac{πm}{2qB}}\end{array}\right.$
答:(1)電容器獲得的電壓是$\frac{1}{2}$Sk;
(2)帶電粒子從小孔P射入勻強磁場時的速度是$\sqrt{\frac{qSk}{m}}$;
(3)帶電粒子在圓形磁場運動時的軌道半徑是r,在磁場運動時的時間是$\frac{πm}{qB}$.

點評 帶電粒子在電磁場中的運動,要注意靈活選擇物理規(guī)律,電場中一般由動能定理或類平拋的規(guī)律求解,而磁場中粒子做圓周運動,應由向心力公式及幾何關系求解.

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