Question

13．把地球看成半徑為R的均勻球體，已知地球表面的重力加速度為g，自轉(zhuǎn)周期為T，不考慮地球自轉(zhuǎn)對物體重力的影響，求：
（1）地球的第一宇宙速度；
（2）地球同步衛(wèi)星離地面的高度．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度是衛(wèi)星在近地圓軌道上的環(huán)繞速度，重力等于萬有引力，引力等于向心力，列式求解；
地球的同步衛(wèi)星的萬有引力提供向心力，可以求出地球同步衛(wèi)星的高度

解答 解：（1）第一宇宙速度等于近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，
對近地衛(wèi)星列牛頓第二定律方程有
$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
解得第一宇宙速度 ${v}_{1}=\sqrt{gR}$
（2）對地球的同步衛(wèi)星的萬有引力提供向心力，列牛頓第二定律方程
有 $\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$
式中 GM=gR²
聯(lián)立解得 h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R
答：（1）地球第一宇宙速度是$\sqrt{gR}$；
（2）地球同步衛(wèi)星距離地面的高度是為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．

點評 解答此題要清楚地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，地球的同步衛(wèi)星的萬有引力提供向心力．