Question

8．L₁、L₂為相互平行的足夠長光滑導(dǎo)軌，位于光滑水平面內(nèi)．一個(gè)略長于導(dǎo)軌間距，質(zhì)量為M的光滑絕緣細(xì)管與導(dǎo)軌垂直放置，細(xì)管可在兩導(dǎo)軌上左右平動(dòng)．細(xì)管內(nèi)有一質(zhì)量為m、帶電量為+q的小球，小球與L導(dǎo)軌的距離為d．開始時(shí)小球相對細(xì)管速度為零，細(xì)管在外力作用下從P₁位置以速度v₀向右勻速運(yùn)動(dòng)．垂直平面向里和向外的勻強(qiáng)磁場I、Ⅱ分別分布在L₁軌道兩側(cè)，如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B．小球視為質(zhì)點(diǎn)，忽略小球電量變化．
（1）當(dāng)細(xì)管運(yùn)動(dòng)到L₁軌道上P₂處時(shí)，小球飛出細(xì)管，求此時(shí)小球的速度大��；
（2）小球經(jīng)磁場Ⅱ第一次回到L₁軌道上的位置為O，求O和P₂間的距離；
（3）小球回到L₁軌道上O處時(shí)，細(xì)管在外力控制下也剛好以速度v₀經(jīng)過O點(diǎn)處，小球恰好進(jìn)入細(xì)管．此時(shí)撤去作用于細(xì)管的外力．以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿L₁軌道和垂直于L₁軌道建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，求小球和細(xì)管速度相同時(shí)，小球的位置（此時(shí)小球未從管中飛出）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求解；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系求解半徑，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力求解；
（3）分析小球的運(yùn)動(dòng)情況和受力情況，根據(jù)帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)的處理方法進(jìn)行解答．

解答 解：（1）小球在水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)重力和支持力二力平衡，將洛茲倫力作如圖所示的分解，其中f_x與桿的彈力平衡，小球的合力等于洛倫茲力沿桿方向的分力f_y．可得 f_y=qv₀B
根據(jù)動(dòng)能定理得 f_yd=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
則得小球從管口飛出時(shí)沿管方向的分速度大小 v=$\sqrt{\frac{2q{v}_{0}Bd}{m}}$，
所以小球從管口飛出時(shí)的速度大小為 v′=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2q{v}_{0}Bd}{m}}$；
（2）小球在磁場II中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，

由洛倫茲力提供向心力得：qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$，
由幾何關(guān)系可得：$\overline{O{P}_{2}}=2Rsinθ$，
聯(lián)立解得：$\overline{O{P}_{2}}=2\sqrt{\frac{2m{v}_{0}d}{qB}}$；
（3）小球進(jìn)入細(xì)管后，由于洛倫茲力不做功，小球和管組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}（m+M）{v}_{xt}^{2}$，
解得：${v}_{xt}=\sqrt{\frac{2q{v}_{0}Bd}{Mm}+{v}_{0}^{2}}$，方向水平向右；
任意時(shí)刻x方向上，對細(xì)管和小球整體，有：（M+m）a_x=qv_yB，
即：（M+m）$\frac{△{v}_{x}}{△t}$=qv_yB，也就是：（M+m）△v_x=qv_yB△t，
解得：（M+m）（v_x-v₀）=-qB（y-y₀）
y方向上，對小球-qv_xB=ma_x，即：-qv_xB=m$\frac{△{v}_{x}}{△t}$
也就是：m△v_y=-qv_xB△t，解得：m（v_y-v_y0）=-qB（x-x₀）
初始狀態(tài)小球在O點(diǎn)時(shí)，x₀=0，y₀=0，
之后當(dāng)v_y=0時(shí)，v_x=v_xt=$\sqrt{\frac{2q{v}_{0}Bd}{Mm}+{v}_{0}^{2}}$，
聯(lián)立解得：x=$\frac{m{v}_{y0}}{qB}\sqrt{\frac{2m{v}_{0}d}{qB}}$，y=$\frac{（M+m）（{v}_{x}-{v}_{0}）}{qB}$=$\frac{（m+M）（\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2q{v}_{0}Bd}{m}}-{v}_{0}）}{qB}$．
答：（1）當(dāng)細(xì)管運(yùn)動(dòng)到L₁軌道上P₂處時(shí)，小球飛出細(xì)管，此時(shí)小球的速度大小為$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2q{v}_{0}Bd}{m}}$；
（2）小球經(jīng)磁場Ⅱ第一次回到L₁軌道上的位置為O，O和P₂間的距離為$2\sqrt{\frac{2m{v}_{0}d}{qB}}$；
（3）小球和細(xì)管速度相同時(shí)，小球的位置坐標(biāo)為（$\frac{m{v}_{y0}}{qB}\sqrt{\frac{2m{v}_{0}d}{qB}}$，$\frac{（m+M）（\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2q{v}_{0}Bd}{m}}-{v}_{0}）}{qB}$）．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法和力的分解法研究洛倫茲力的分力，知道洛倫茲力沿桿方向的分力是恒力．要注意小球從管口飛出時(shí)的速度是合速度，不是分速度；注意分析運(yùn)動(dòng)情況和受力情況是解答本題的關(guān)鍵．