Question

10．如圖所示，在光滑水平桌面上的虛線MN左側(cè)有方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場，一質(zhì)量為m、電阻為R、邊長為L的正方形導(dǎo)體框靜止在水平桌面上，且一條邊框與MN平行．現(xiàn)對線框施加水平向右的恒力，線框從靜止開始運(yùn)動直到離開磁場，速度傳感器記錄了線框在該過程中速度隨時間變化的v-t圖線，圖中v₀，t₀為已知量．求：
（1）線框穿出磁場過程中電流強(qiáng)度I和通過線框的電量q；
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（3）若導(dǎo)體框初始位置不變，施加的恒力為原來的2倍，傳感器測量到線框離開磁場前已經(jīng)做勻速運(yùn)動，則此情景下線框穿出磁場過程中產(chǎn)生電熱Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)v-t圖象求得力F作用時的加速度，由牛頓第二定律求得F的大小，再根據(jù)勻速出磁場的過程中拉力的功率與導(dǎo)體框的熱功率相等求得穿出磁場過程中的電流大小，再根據(jù)Q=It求得電荷量；
（2）因為導(dǎo)體框勻速出磁場，故根據(jù)拉力與安培力相等求得磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小即可；
（3）當(dāng)以拉力F作用時，在加速x₀至速度為v₀導(dǎo)體框開始出磁場，當(dāng)以2F加速x₀時速度達(dá)到v₁導(dǎo)體框開始出磁場，當(dāng)通過L的過程中，拉力F做的功一部分用來增大導(dǎo)體框的動能，一部分克服安培力做功（即為放出的熱量），再根據(jù)勻速出磁場求得以2F出磁場時的速度，由能量守恒定律求解．

解答 解：（1）由v-t圖象知，導(dǎo)體框在力F作用下產(chǎn)生的加速度a=$\frac{{v}_{0}}{{t}_{0}}$
因為導(dǎo)體框勻速離開磁場區(qū)域，故有：
F=ma=$m\frac{{v}_{0}}{{t}_{0}}$
因為勻速穿出磁場，故拉力F的功率等于導(dǎo)體框的熱功率，故有：
$F{v}_{0}={I}^{2}R$
可得導(dǎo)體框穿出磁場時的電流
I=$\sqrt{\frac{F{v}_{0}}{R}}$=$\sqrt{\frac{m{v}_{0}^{2}}{R{t}_{0}}}$
導(dǎo)體框穿出磁場過程中通過導(dǎo)體框的電荷量
Q=It=$\sqrt{\frac{m{v}_{0}^{2}}{R{t}_{0}}}•\frac{L}{{v}_{0}}$=$\sqrt{\frac{m{L}^{2}}{R{t}_{0}}}$
（2）因為導(dǎo)體框勻速出磁場，故可得拉力F與安培力平衡即
F=m$\frac{{v}_{0}}{{t}_{0}}$=BIL
可得磁感應(yīng)強(qiáng)度B=$\frac{m\frac{{v}_{0}}{{t}_{0}}}{\sqrt{\frac{m{v}_{0}^{2}}{R{t}_{0}}}L}$=$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mR}{{t}_{0}}}$
（3）拉力為F時，加速距離為x₀，由題意滿足：
$F{x}_{0}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$      
勻速離開磁場過程中有：
F-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}=0$
當(dāng)拉力為2F時，在加速通過距離x₀的過程中有：
$2F{x}_{0}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
離開磁場前達(dá)到勻速運(yùn)動有：
2F-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R}$=0
所以可得v₂=2v₀
所以根據(jù)能量守恒定律可知，在以2F拉力穿過磁場過程中有：
$2FL=Q+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
聯(lián)列解得：Q=$\frac{2m{v}_{0}L}{{t}_{0}}-m{v}_{0}^{2}$
答：（1）線框穿出磁場過程中電流強(qiáng)度I為$\sqrt{\frac{m{v}_{0}^{2}}{R{t}_{0}}}$和通過線框的電量q為$\sqrt{\frac{m{L}^{2}}{R{t}_{0}}}$；
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mR}{{t}_{0}}}$；
（3）若導(dǎo)體框初始位置不變，施加的恒力為原來的2倍，傳感器測量到線框離開磁場前已經(jīng)做勻速運(yùn)動，則此情景下線框穿出磁場過程中產(chǎn)生電熱Q為$\frac{2m{v}_{0}L}{{t}_{0}}-m{v}_{0}^{2}$．

點評 本題是導(dǎo)體在導(dǎo)軌上滑動類型，要從力和能量兩個角度分析答題，關(guān)鍵要掌握法拉第定律、歐姆定律、能量守恒等等基本規(guī)律，并能正確運(yùn)用．