Question

9．光滑水平面上排列著三個等大的球心共線的彈性小球，質(zhì)量分別為m₁、m₂、m₃．現(xiàn)給1號球一個水平速度v₀．于是，1號球與2號球、2號球與3號球依次發(fā)生碰撞，碰撞過程無機械能守恒．（即完全彈性碰撞）
①求最終三個球的速度．（每兩個球只發(fā)生一次碰撞）
②若1、3號球質(zhì)量m₁，m₃已知，要3號球碰后速度最大，則2號球質(zhì)量m₂為多大．

Answer 1

分析 （1）任意兩球碰撞過程動量守恒、機械能守恒，由動量守恒定律與機械能守恒定律可以求出球的速度．
（2）根據(jù)3號球的速度表達式應用數(shù)學知識求出何時它的速度最大．

解答 解：（1）m₁、m₂碰撞過程系統(tǒng)動量守恒，以m₁的初速度方向為正方向，
由動量守恒定律得：m₁v₀=m₁v₁+m₂v，
由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$m₁v₀²=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v²，
解得：v₁=$\frac{{（m}_{1}-{m}_{2}）{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，v=$\frac{2{m}_{1}{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$；
m₂、m₃碰撞過程系統(tǒng)動量守恒，以m₂的初速度方向為正方向，
由動量守恒定律得：m₂v=m₂v₂+m₃v₃，
由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$m₂v²=$\frac{1}{2}$m₂v₂²+$\frac{1}{2}$m₃v₃²，
解得：v₂=$\frac{2{m}_{1}（{m}_{2}-{m}_{3}）{v}_{0}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）（{m}_{2}+{m}_{3}）}$，v₃=$\frac{4{m}_{1}{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}+\frac{{m}_{1}{m}_{3}}{{m}_{2}}}$；
（2）由（1）可知，v₃=$\frac{4{m}_{1}{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}+\frac{{m}_{1}{m}_{3}}{{m}_{2}}}$，
當m₂=$\frac{{m}_{1}{m}_{3}}{{m}_{2}}$時，v₃的值最大，m₂=$\sqrt{{m}_{1}{m}_{3}}$；
答：（1）最終三個球的速度大小分別為$\frac{{（m}_{1}-{m}_{2}）{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$、$\frac{2{m}_{1}（{m}_{2}-{m}_{3}）{v}_{0}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）（{m}_{2}+{m}_{3}）}$、$\frac{4{m}_{1}{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}+\frac{{m}_{1}{m}_{3}}{{m}_{2}}}$；
（2）2號球質(zhì)量m₂為$\sqrt{{m}_{1}{m}_{3}}$時3號球碰后速度最大．

點評 本題考查了求球的速度，分析清楚球的運動過程，應用動量守恒定律與機械能守恒定律即可正確解題．