Question

16．水上滑梯可簡化成如圖所示的模型：傾角為θ=37°斜滑道AB和水平滑道BC平滑連接，起點(diǎn)A距水面的高度H=7.0m，BC長d=2.0m，端點(diǎn)C距水面的高度h=1.0m．一質(zhì)量m=50kg的運(yùn)動員從滑道起點(diǎn)A點(diǎn)無初速地自由滑下，不計(jì)空氣的阻力（取重力加速度g=10m/s²，cos37°=0.8，sin37°=0.6，運(yùn)動員在運(yùn)動過程中可視為質(zhì)點(diǎn)）
（1）若假設(shè)運(yùn)動員與AB、BC間沒有摩擦力，求運(yùn)動員到達(dá)C點(diǎn)時速度的大小．
（2）若運(yùn)動員與AB、BC間有摩擦力，且動摩擦因數(shù)均為μ=0.10．求運(yùn)動員從A滑到C的過程中克服摩擦力所做的功為多少？，運(yùn)動員到達(dá)C點(diǎn)時速度的大小又為多少？
（3）在第（2）問的前提下，保持水平滑道端點(diǎn)在同一豎直線上，調(diào)節(jié)水平滑道高度h和長度d到圖中B′C′位置時，運(yùn)動員從滑梯平拋到水面的水平位移最大，求此時滑道B′C′距水面的高度h′．

Answer 1

分析 （1）在下滑過程中根據(jù)動能定理求得速度；
（2）運(yùn)動員從A滑到C的過程中，克服摩擦力做功為W=μmgcosθ（$\frac{H-h}{sinθ}$）+μmgd=μmg[d+（H-h）cotθ]．根據(jù)動能定理求解到達(dá)C點(diǎn)時速度的大小υ；
（3）運(yùn)動員從A滑到C的過程中，克服摩擦力做功W保持不變，根據(jù)動能定理得到運(yùn)動員滑到C點(diǎn)時的速度大�。畯腃到水平地面，運(yùn)動員做平拋運(yùn)動，由平拋運(yùn)動的規(guī)律得到水平位移h′的關(guān)系式，由數(shù)學(xué)知識求解水平位移最大時h′的值．

解答 解：（1）從A到C根據(jù)動能定理可知：
$gm（H-h）=\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}$
解得：${v}_{2}=\sqrt{2g（H-h）}=6\sqrt{5}m/s$
（2）運(yùn)動員從A滑到C的過程中，克服摩擦力做功為：
$W=θmgcosθ•\frac{H-h}{sinθ}+μmgd$=500J
根據(jù)動能定理可知：
$mg（H-h）-W=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
得運(yùn)動員滑到C點(diǎn)時速度的大小為：v=10 m/s    
（3）在從C點(diǎn)滑出至落到水面的過程中，運(yùn)動員做平拋運(yùn)動的時間為t，
$h′=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得：t=$\sqrt{\frac{2h′}{g}}$
下滑過程中克服摩擦做功保持不變，為：W=500J
根據(jù)動能定理得：$mg（H-h′）-W=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
解得：v=$\sqrt{2g（H-l-h′）}$
運(yùn)動員在水平方向的位移為：$x=vt=\sqrt{2g（H-l-h′）}•\sqrt{\frac{2h′}{g}}$=$\sqrt{4（H-l-h′）h′}$
當(dāng)$h′=\frac{H-l}{2}=3$m時，水平位移最大．
答：（1）運(yùn)動員到達(dá)C點(diǎn)時速度的大小為$6\sqrt{5}m/s$．
（2）運(yùn)動員從A滑到C的過程中克服摩擦力所做的功為500J，運(yùn)動員到達(dá)C點(diǎn)時速度的大小又為10m/s
（3）此時滑道B′C′距水面的高度h′為3m．

點(diǎn)評 本題中關(guān)鍵之處要抓住滑動摩擦力做功W=μmg[d+（H-h）cotθ]，與AC間水平位移大小成正比，AC間水平位移不變，W不變．第3問得到水平位移x與h′的關(guān)系式，根據(jù)數(shù)學(xué)知識求解極大值的條件．