Question

6．在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的水平勻強(qiáng)磁場中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的小球在O點(diǎn)靜止釋放，小球的運(yùn)動(dòng)曲線如圖所示．已知此曲線在最低點(diǎn)附近的一小段可視為圓弧，該圓弧半徑為最低點(diǎn)到x軸距離的2倍，重力加速度為g．求：
（1）小球運(yùn)動(dòng)到任意位置P（x，y）的速率v；
（2）小球在運(yùn)動(dòng)過程中第一次下降的最大距離y_m；
（3）欲使小球沿x軸正向做直線運(yùn)動(dòng)，可在該區(qū)域加一勻強(qiáng)電場，試分析加電場時(shí)，小球位置的縱坐標(biāo)y值為多大？所加電場的電場強(qiáng)度為多少？方向如何？

Answer 1

分析 （1）洛倫茲力永不做功，粒子在磁場和重力場中運(yùn)動(dòng)時(shí)只有重力做功；根據(jù)動(dòng)能定理可求得到達(dá)任意位置P（x，y）的速率v；
（2）粒子下降的最低點(diǎn)時(shí)一定沿豎直方向?yàn)榱�，只有水平方向的速度；此時(shí)洛倫茲力和重力的合力充當(dāng)向心力；則可求向最大速度；再結(jié)合（1）中求出的速度，聯(lián)立可得最大位移；
（3）要使沿x軸做直線運(yùn)動(dòng)，粒子一定是在最低點(diǎn)；則可知最大位移；要使粒子沿直線運(yùn)動(dòng)，則三力的合力一定為零；根據(jù)平衡條件可求得電場強(qiáng)度的大小和方向．

解答 解：（1）因洛倫茲力不做功，只有重力做功；則由動(dòng)能定理得：
mgy=$\frac{1}{2}$mv²…①
解得：v=$\sqrt{2gy}$…②
（2）設(shè)在最大距離y_m處的速率為v_m，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)洛倫茲力充當(dāng)向心力有：
qv_mB-mg=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$…③
且由②知：v_m=$\sqrt{2g{y}_{m}}$…④
則由③④及R=2y_m
得：y_m=$\frac{2{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$…⑤
（3）當(dāng)小球沿x軸正向做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球受力平衡，由此可知，加電場時(shí)，小球應(yīng)在最低點(diǎn)．有：
y_m=$\frac{2{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$
要使沿x軸正向做直線運(yùn)動(dòng)，則有：qv_mB-mg-qE=0…⑥
解④⑤⑥得：E=$\frac{mg}{q}$；方向豎直向下；
答：（1）小球運(yùn)動(dòng)到任意位置P（x，y）的速率v為$\sqrt{2gy}$；
（2）小球在運(yùn)動(dòng)過程中第一次下降的最大距離y_m為$\frac{2{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$；
（3）欲使小球沿x軸正向做直線運(yùn)動(dòng)，可在該區(qū)域加一勻強(qiáng)電場，試分析加電場時(shí)，小球位置的縱坐標(biāo)y值為$\frac{2{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$；所加電場的電場強(qiáng)度為$\frac{mg}{q}$；方向豎直向下．

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)情況，要注意明確各力的特點(diǎn)，注意題目中隱含的信息，然后利用牛頓第二定律以及功能關(guān)系分析求解．此題對學(xué)生分析能力要求極高；如果找不出隱含的信息，則無從下手．