Question

16．如圖所示，質(zhì)量為M=2kg的物塊A（可看作質(zhì)點），開始放在長木板B的左端，B的質(zhì)量為m=1kg，長木板B可在水平面上無摩擦滑動．兩端各有一固定豎直擋板M、N，現(xiàn)A、B以相同速度v₀=6m/s向左運動并與擋板M發(fā)生碰撞．B與M碰后速度立即變?yōu)?，但不與M粘結(jié)；A與M碰后沒有機(jī)械能損失，碰后接著返回向N板運動，且在與N板碰撞之前，A、B能達(dá)共同速度．在長木板B即將與檔板N碰前，立即將A鎖定于長木板B上，使長木板B與檔板N碰后，A、B一并原速反向．B與檔板N碰后，立即解除對A的鎖定（鎖定和解除鎖定過程均無機(jī)械能損失）．以后A、B若與M、N檔板碰撞，其過程同前．A、B之間動摩擦因數(shù)μ=0.1，g=10m/s²．求：
（1）在與N板發(fā)生第一次碰撞之前A相對于B向右滑行距離△s₁是多少？
（2）A與檔板M發(fā)生第二次碰撞后的速度大�。�
（3）A和B最終停在何處？A、B系統(tǒng)在整個運動過程中由于摩擦產(chǎn)生的熱量為多少？

Answer 1

分析 （1）第一次與N板碰撞前，A、B系統(tǒng)動量守恒，根據(jù)守恒定律列式求解共同速度；根據(jù)功能關(guān)系列式求解相對滑動的距離；
（2）反彈后根據(jù)功能關(guān)系列式求解A與M碰撞前的速度大��；
（3）對第i次離開M到返回M的全部過程，根據(jù)動能定理、動量守恒定律列式判斷損失的動能，然后對全程根據(jù)功能關(guān)系列式分析．

解答 解：（1）第一次碰撞后A以v₀=6 m/s速度向右運動，B的初速度為0，與N板碰前達(dá)共同速度v₁，則：
Mv₀=（m+M）v₁
解得：
v₁=4m/s
系統(tǒng)克服阻力做功損失動能：
△E₁=$\frac{1}{2}$Mv₀²-$\frac{1}{2}$（m+M）v₁²=36-24=12J．
根據(jù)功能關(guān)系，有：
μMg•△S₁=△E₁
解得：
$△{S}_{1}=\frac{△{E}_{1}}{μMg}=\frac{12J}{0.1×2×10N}$=6m
（2）因與N板的碰撞沒有能量損失，A、B與N板碰后返回向左運動，此時A的動能：
E_A′=$\frac{1}{2}$×2×4²=16J＞△E₁
因此，當(dāng)B先與M板碰撞停住后，A還有足夠能量克服阻力做功，并與M板發(fā)生第二次碰撞．
所以A可以與擋板M發(fā)生第二次碰撞．
根據(jù)動能定理，有：
$-2△{E}_{1}=\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$
解得：
${v}_{2}=\sqrt{{v}_{0}^{2}-\frac{4△E}{M}}$=$\sqrt{{6}^{2}-\frac{4×12}{2}}$=2$\sqrt{3}$m/s≈3.4m/s
（3）設(shè)第i次碰后A的速度為v_i，動能為E_Ai，達(dá)到共同速度后A的速度為v_i′動能為E_Ai′同理可求
v_i′=$\frac{2}{3}$v_i
E_Ai′=$\frac{4}{9}$E_Ai
E_Bi′=$\frac{1}{2}$E_Ai′=$\frac{2}{9}$E_Ai
單程克服阻力做功W_fi=E_Ai-E_Ai′-E_Bi′=$\frac{1}{3}$E_Ai＜E_Ai′
因此每次都可以返回到M板，最終停靠在M板前．
在每完成一個碰撞周期中損失的總能量均能滿足
△E_i=2W_fi+E_Bi′=$\frac{2}{3}$E_Ai+$\frac{2}{9}$E_Ai=$\frac{8}{9}$E_Ai．
（即剩余能量為$\frac{1}{9}$E_Ai）
其中用以克服阻力做功占損失總能量之比$\frac{{W}_{fi}^{′}}{△{E}_{i}}$=$\frac{2{W}_{fi}^{\;}}{△{E}_{i}}$=$\frac{3}{4}$
碰撞中能量損失所占的比例$\frac{△{E}_{Bi}^{″}}{△E}$=$\frac{1}{4}$
因此，當(dāng)初始A的總動能損失完時，克服摩擦力做的總功為W_f總=$\frac{3}{4}$E_A0=27J
根據(jù)功能關(guān)系，產(chǎn)生的內(nèi)能為27J；
答：（1）在與N板發(fā)生第一次碰撞之前A相對于B向右滑行距離△s₁是12m；
（2）A與檔板M發(fā)生第二次碰撞后的速度大小為9.2m/s；
（3）A和B最終均停在M板前，A、B系統(tǒng)在整個運動過程中由于摩擦產(chǎn)生的熱量為27J．

點評 本題關(guān)鍵是明確A板、B板的運動情況、受力情況和能量轉(zhuǎn)化情況，結(jié)合功能關(guān)系、動量守恒定律列式求解；第3小題要考慮第i次離開M板到返回M板的過程．