Question

3．北京正負(fù)電子對撞機(jī)是國際上唯一高亮度對撞機(jī)，它主要由直線加速器、電子分離器、環(huán)形儲存器和對撞測量區(qū)組成，其簡化原理如圖所示：MN和PQ為足夠長的水平邊界，豎直邊界EF將整個(gè)區(qū)域分成左右兩部分，Ⅰ區(qū)域的磁場方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，Ⅱ區(qū)域的磁場方向垂直紙面向外．調(diào)節(jié)Ⅱ區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小可以使正負(fù)電子在測量區(qū)內(nèi)不同位置進(jìn)行對撞．經(jīng)加速和積累后的電子束以相同速率分別從注入口C和D同時(shí)入射，入射方向平行EF且垂直磁場．已知注入口C、D到EF的距離均為d，邊界MN和PQ的間距為8d，正、負(fù)電子的質(zhì)量均為m，所帶電荷量分別為+e和-e．
（1）試判斷從注入口C入射的是哪一種電子？忽略電子進(jìn)入加速器的初速度，電子經(jīng)加速器加速后速度為v₀，求直線加速器的加速電壓U；
（2）若將Ⅱ區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小調(diào)為B，正負(fù)電子以v₁=$\frac{deB}{m}$的速率同時(shí)射入，則正負(fù)電子經(jīng)多長時(shí)間相撞？
（3）若將Ⅱ區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小調(diào)為$\frac{B}{3}$，正負(fù)電子仍以v₁=$\frac{deB}{m}$的速率射入，但負(fù)電子射入時(shí)刻滯后于正電子△t=$\frac{πm}{eB}$，求正負(fù)電子相撞的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）判斷電子偏轉(zhuǎn)方向，再由左手定則即可判斷電子所帶電荷符號；利用動能定理可求得加速電壓；
（2）分析電子運(yùn)動軌跡，由幾何關(guān)系推出其運(yùn)動的周期數(shù)，再由洛倫茲力作向心力求得運(yùn)動周期，即可求得運(yùn)動時(shí)間；
（3）先求同時(shí)射出電子相撞位置，再根據(jù)滯后時(shí)間，分析其運(yùn)動差異，求得滯后發(fā)射對應(yīng)的相撞位置．

解答 解：（1）從C入射的電子在C點(diǎn)受到的洛倫茲力向右，粒子向右偏轉(zhuǎn)，經(jīng)過Ⅱ區(qū)反向偏轉(zhuǎn)，再進(jìn)入Ⅰ區(qū)，這樣才能持續(xù)向下運(yùn)動直至與從D入射的電子碰撞；若從C入射的電子在C點(diǎn)受到的洛倫茲力向左，則粒子可能還未碰撞就從MN邊界射出，所以，由左手定則可判斷從C入射的電子為正電子；
忽略電子進(jìn)入加速器的初速度，電子經(jīng)加速器加速后速度為v₀，則由動能定理可得：$Ue=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，所以，$U=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2e}$；
（2）電子在磁場中運(yùn)動，洛倫茲力作向心力，所以有，$B{v}_{1}e=\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$，則${R}_{1}=\frac{m{v}_{1}}{Be}=d$，$T=\frac{2π{R}_{1}}{{v}_{1}}=\frac{2πm}{eB}$；
電子在Ⅰ、Ⅱ區(qū)域中運(yùn)動時(shí)半徑相同，電子射入后的軌跡如圖甲所示，
所以，電子在射入后正好轉(zhuǎn)過360°后對撞，那么，對撞時(shí)間：$t=T=\frac{2πm}{eB}$；
（3）電子在Ⅰ區(qū)域中運(yùn)動時(shí)半徑不變，仍為R₁=d，運(yùn)動周期${T}_{1}=\frac{2πm}{eB}$；將Ⅱ區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小調(diào)為$\frac{B}{3}$，則電子在Ⅰ區(qū)域中運(yùn)動時(shí)半徑R₂=3d，運(yùn)動周期${T}_{2}=\frac{6πm}{eB}$；
負(fù)電子射入時(shí)刻滯后于正電子△t=$\frac{πm}{eB}$=$\frac{1}{6}{T}_{2}$，
電子射入后的軌跡如圖所示，，若兩電子同時(shí)射出，則兩電子交與H點(diǎn)；
現(xiàn)負(fù)電子射入時(shí)刻滯后于正電子$\frac{1}{6}{T}_{2}$，則負(fù)電子比正電子在Ⅱ區(qū)域中少轉(zhuǎn)$\frac{1}{6}×360°=60°$，所以，兩電子相撞的位置在H點(diǎn)以圓心向負(fù)電子方向轉(zhuǎn)過30°，即A點(diǎn)；
易知H點(diǎn)坐標(biāo)為（3d，4d），所以，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3dcos30°，4d-3dsin30°）=$（\frac{3\sqrt{3}}{2}d，\frac{5}{2}d）$．
答：（1）從注入口C入射的是正電子；忽略電子進(jìn)入加速器的初速度，電子經(jīng)加速器加速后速度為v₀，則直線加速器的加速電壓U為$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2e}$；
（2）若將Ⅱ區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小調(diào)為B，正負(fù)電子以v₁=$\frac{deB}{m}$的速率同時(shí)射入，則正負(fù)電子經(jīng)$\frac{2πm}{eB}$相撞；
（3）若將Ⅱ區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小調(diào)為$\frac{B}{3}$，正負(fù)電子仍以v₁=$\frac{deB}{m}$的速率射入，但負(fù)電子射入時(shí)刻滯后于正電子△t=$\frac{πm}{eB}$，則正負(fù)電子相撞的位置坐標(biāo)為$（\frac{3\sqrt{3}}{2}d，\frac{5}{2}d）$．

點(diǎn)評 在求解帶電粒子在磁場中的問題時(shí)，要注意利用幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系，為簡便求解，幾何圖形中除應(yīng)盡可能準(zhǔn)確外最好把相關(guān)數(shù)據(jù)標(biāo)注，如本題中半徑d，3d及其與邊界MN和PQ的間距8d之間的數(shù)量關(guān)系不應(yīng)出現(xiàn)誤差．