Question

3．宇航員登上一半徑為R的星球表面，為測(cè)定該星球的質(zhì)量，他用長(zhǎng)細(xì)線一端拴一小球，另一端固定于O點(diǎn)，讓其在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（這種運(yùn)動(dòng)常稱(chēng)為圓錐擺運(yùn)動(dòng)），如圖所示．若測(cè)得O點(diǎn)到圓面距離為h，圓錐擺的周期為T(mén)，已知萬(wàn)有引力常量為G．請(qǐng)推導(dǎo)出：
（1）該星球表面重力加速度g的表達(dá)式；
（2）該星球質(zhì)量M的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）由題，小球在水平面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由重力和繩子的拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解重力加速度．
（2）在星球的表面重力等于萬(wàn)有引力，由此即可得到質(zhì)量的表達(dá)式．

解答 解：（1）設(shè)擺線與豎直方向之間的夾角為θ，由圖可知，小球圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：r=htanθ
在豎直方向上：mg=$\frac{m4{π}^{2}}{{T}^{2}}•htanθ$
得：g=$\frac{4{π}^{2}h}{{T}^{2}}$
（2）在星球的表面重力等于萬(wàn)有引力，得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
則：M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{2}h}{G{T}^{2}}$
答：（1）該星球表面重力加速度g的表達(dá)式為$\frac{4{π}^{2}h}{{T}^{2}}$；
（2）該星球質(zhì)量M的表達(dá)式為$\frac{4{π}^{2}{R}^{2}h}{G{T}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓錐擺問(wèn)題，關(guān)鍵是分析小球的受力情況，確定向心力的來(lái)源．注意小球圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與擺長(zhǎng)不同．重力加速度g是聯(lián)系天體運(yùn)動(dòng)和星球表面物體的運(yùn)動(dòng)的橋梁．