Question

11．如圖所示，平面直角坐標(biāo)系xOy，P點(diǎn)在x軸上，x_p=2L，Q點(diǎn)在負(fù)y軸上某處，第Ⅰ象限內(nèi)有平行于y軸的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第Ⅱ象限內(nèi)有一圈形區(qū)域與x、y軸．分別相切于A、C兩點(diǎn)，AO=L，第Ⅳ象限內(nèi)有一未知的矩形區(qū)域（圖中未畫出），圓形區(qū)域和矩形區(qū)域內(nèi)有相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直 于xOy平面（圖中為畫出）．
電荷量為+q、質(zhì)量為m、速度大小為v₀的粒子束a從A點(diǎn)沿y軸正方向發(fā)射，經(jīng)過(guò)C點(diǎn)和P點(diǎn)；電荷量為-q、質(zhì)量為m、速率為$\sqrt{2}$v₀的粒子b，從Q點(diǎn)向與y軸成45°夾角方向發(fā)射，經(jīng)過(guò)并離開矩形區(qū)域后與離開P點(diǎn)的粒子束a相碰，相碰時(shí)粒子速度方向相反．不計(jì)粒子的重力和粒子間相互作用力．求：
（1）圓形區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度B的大小、方向；
（2）第Ⅰ象限內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小E；
（3）矩形區(qū)域的最小面積S．

Answer 1

分析 （1）正粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解軌道半徑，根據(jù)牛頓第二定律列式求解磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）粒子在電場(chǎng)中做類似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類似平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式求解即可；
（3）在矩形區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的粒子的速度偏轉(zhuǎn)角度為90°，畫出軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系確定最小磁場(chǎng)面積．

解答 解：（1）粒子電荷量為+q、質(zhì)量為m、速度大小為v₀的粒子束a從A點(diǎn)沿y軸正方向發(fā)射，經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，說(shuō)明在A點(diǎn)時(shí)磁場(chǎng)力向右，根據(jù)左手定則，磁場(chǎng)方向垂直向外；
畫出從A到C的軌跡，如圖所示：

結(jié)合幾何關(guān)系，有：
r=L ①
粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，故：
qv₀B=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ ②
聯(lián)立解得：
B=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$
方向垂直向外
（2）粒子從C到P過(guò)程是類似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分運(yùn)動(dòng)公式，有：
2L=v₀t
L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
其中：
a=$\frac{qE}{m}$
聯(lián)立解得：
E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$
（3）帶負(fù)電荷的粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)矩形區(qū)域后速度偏轉(zhuǎn)角為90°，洛倫茲力提供向心力，故：
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：
R=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}=\sqrt{2}L$
軌跡如圖：

磁場(chǎng)區(qū)域?qū)��?yīng)的最小寬度：b=R-$\frac{\sqrt{2}}{2}$R=$\sqrt{2}L-L$
磁場(chǎng)區(qū)域?qū)��?yīng)的最小長(zhǎng)度：a=$\sqrt{2}R=2L$
故最小面積為：$S=ab=（\sqrt{2}-1）L×2L=2（\sqrt{2}-1）{L}^{2}$
答：（1）圓形區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{m{v}_{0}}{qL}$、方向垂直向外；
（2）第Ⅰ象限內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小E為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$；
（3）矩形區(qū)域的最小面積為$2（\sqrt{2}-1）{L}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，然后結(jié)合牛頓第二定律、類似平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式和幾何關(guān)系列式求解，不難．