Question

9．時(shí)速可以達(dá)到360km/h的高鐵，以其快捷、舒適的特色，越來(lái)越受到人們的青睞．你可曾想過(guò)這樣一個(gè)物理問題：列車對(duì)水平軌道的壓力和其運(yùn)動(dòng)方向之間是否相關(guān)．
力學(xué)理論和實(shí)驗(yàn)證明：向東行駛的列車對(duì)水平軌道的壓力N，與其處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)對(duì)水平軌道的壓力N₀相比較，顯著減少．通常把這種物理現(xiàn)象，稱之為“厄缶效應(yīng)”．作為探究“厄缶效應(yīng)”課題，你可以通過(guò)完成下面的探究任務(wù)來(lái)體會(huì)之：
已知地球的質(zhì)量為M，地球的半徑為R，地球的自轉(zhuǎn)周期為T，萬(wàn)有引力常量為G．求：
（1）我們?cè)O(shè)想，如圖2所示，在地球赤道附近的緯線上，有一總質(zhì)量為m的高速列車停在水平軌道上，當(dāng)考慮到地球的自轉(zhuǎn)效應(yīng)，那么列車對(duì)軌道的壓力大小N₀的表達(dá)式是什么？
（2）若上述列車，正在以相對(duì)地面的速度為v，沿水平軌道向東行駛，那么：列車對(duì)軌道的壓力大小N的表達(dá)式是什么？N₀-N的表達(dá)式又是什么？
（3）若該高速列車的總質(zhì)量m=3200噸，以360km/h的速度沿水平軌道向東行駛，已知地球的半徑R=6400km，自轉(zhuǎn)周期為24h，請(qǐng)估算該列車對(duì)軌道的壓力差N₀-N=？（結(jié)果保留一位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）火車隨地球自轉(zhuǎn)而做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力與支持力的合力提供向心力，應(yīng)用牛頓第二定律可以求出支持力，然后求出壓力．
（2）求出火車的線速度，然后由牛頓第二定律求出支持力，再求出壓力，最后求出N₀-N的表達(dá)式．
（3）把已知數(shù)據(jù)代入表達(dá)式，求出列車對(duì)軌道的壓力差N₀-N．

解答 解：（1）靜止在赤道上的列車，由于地球的自轉(zhuǎn)，使其隨地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-N₀′=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R；解得：N₀′=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R；
由牛頓第三定律可知，列車對(duì)軌道的壓力：N₀=N₀′=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R；
（2）當(dāng)列車以對(duì)地速度v沿水平軌道向東行駛，
其圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為：$v'=\frac{2πR}{T}+v$，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-N′=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$，
解得：N′=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-$\frac{m（\frac{2πR}{T}+v）^{2}}{R}$，
由牛頓第三定律得：N=N′=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-$\frac{m（\frac{2πR}{T}+v）^{2}}{R}$，
則：N₀-N=$\frac{4πmv}{T}$+$\frac{m{v}^{2}}{R}$；
（3）代入數(shù)據(jù)解得：${N_0}-N=\frac{4πmv}{T}+\frac{{m{v^2}}}{R}=\frac{{4×3.14×3200×{{10}^3}×100}}{24×3600}+\frac{{3200×{{10}^3}×{{100}^2}}}{{6400×{{10}^3}}}=4.6×{10^4}N$；
答：（1）列車對(duì)軌道的壓力大小N₀的表達(dá)式是：N₀=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R；
（2）列車對(duì)軌道的壓力大小N的表達(dá)式是：N=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-$\frac{m（\frac{2πR}{T}+v）^{2}}{R}$，N₀-N的表達(dá)式是：N₀-N=$\frac{4πmv}{T}$+$\frac{m{v}^{2}}{R}$；
（3）該列車對(duì)軌道的壓力差N₀-N為4.6×10⁴N．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道信息給予題，認(rèn)真審題，理解題意，從題干中獲取所需信息是正確解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律與萬(wàn)有引力公式可以解題．