Question

12．如圖所示，間距為L(zhǎng)的兩根光滑$\frac{1}{4}$圓弧軌道置干水平面上，其軌道末端水平，圓弧軌道半徑為r，電阻不計(jì)．在其上端連有阻值為R₀的電阻，整個(gè)裝置處于如圖所示的徑向磁場(chǎng)中，圓弧軌道處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．現(xiàn)有一根長(zhǎng)度等于L，、質(zhì)量為m、電阻為R的金屬棒從軌道的頂端PQ處由靜止開(kāi)始下滑，到達(dá)軌道底端MN時(shí)對(duì)軌道的壓力為2mg（重力加速度為g）．求：
（1）金屬捧到達(dá)軌道底端時(shí)金屬棒兩端的電壓；
（2）金屬棒下滑過(guò)程中通過(guò)電阻R₀的電荷量．

Answer 1

分析 （1）金屬棒在軌道底端MN時(shí)，重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可求出金屬棒到MN時(shí)的速度，再根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律E=BLv結(jié)合分壓關(guān)系式即可求出金屬棒兩端的電壓；
（2）利用電流定義式、閉合電路歐姆定律、法拉第電磁感應(yīng)定律E=n$\frac{△φ}{△t}$，聯(lián)立即可求出電量表達(dá)式q=n$\frac{△φ}{{R}_{總}(cāng)}$，代入數(shù)據(jù)求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)金屬棒運(yùn)動(dòng)到軌道底端MN時(shí)，設(shè)金屬棒此時(shí)速度為v，
根據(jù)牛頓第二定律可得：2mg-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\sqrt{gr}$ ①
導(dǎo)體棒切割磁場(chǎng)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=BLv ②
根據(jù)閉合電路歐姆定律可得金屬棒兩端電壓：U=$\frac{R}{R+{R}_{0}}$E ③
聯(lián)立①②③式可得：U=$\frac{BLR\sqrt{gr}}{R+{R}_{0}}$
（2）通過(guò)的電荷量：q=$\overline{I}$•△t ④
閉合電路歐姆定律：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+{R}_{0}}$ ⑤
法拉第電磁感應(yīng)定律：$\overline{E}$=n$\frac{△φ}{△t}$ ⑥其中匝數(shù)n=1
磁通量變化量：△φ=BL•$\frac{πr}{2}$ ⑦
聯(lián)立④⑤⑥⑦式可得：q=$\frac{BLπr}{2（R+{R}_{0}）}$
答：（1）金屬捧到達(dá)軌道底端時(shí)金屬棒兩端的電壓為$\frac{BLR\sqrt{gr}}{R+{R}_{0}}$；
（2）金屬棒下滑過(guò)程中通過(guò)電阻R₀的電荷量為$\frac{BLπr}{2（R+{R}_{0}）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題難度不大，主要考查豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)、法拉第電磁感應(yīng)定律以及閉合電路歐姆定律的綜合運(yùn)用，注意第二問(wèn)中磁通量的變化量△φ的求解，其中磁場(chǎng)穿過(guò)的有效面積為$\frac{1}{4}$柱面的面積．