Question

12．半徑為R的四分之一圓柱形透明體，圓心為O，放置在一水平面上，一細束單色光從P點垂直于側(cè)面射入透明體，從M點射出的光線照射到水平面上的B點，已知OP=$\frac{R}{2}$，測得O、B間的距離為$\sqrt{3}$R，求：
（i）透明體材料的折射率；
（ii）若要使折射光線消失則入射點到O點的距離應(yīng)滿足什么條件．

Answer 1

分析 （i）畫出光路圖，根據(jù)幾何知識分別求出入射角和折射角，由折射定律求出折射率．
（ii）由sinC=$\frac{1}{n}$求出臨界角C，當(dāng)光線射到弧面上剛好發(fā)生全反射時，光線將不能從PQ面射出，折射光線消失，由幾何知識求出入射點到O點的距離．

解答 解：（i）如下圖所示．過M點作法線交于O點，在△OPM中，

  sini=$\frac{OP}{OM}$=$\frac{1}{2}$
得 i=30°----------------------------------①
過M點作OB的垂線交OB于N點，
求得：ON=Rcos60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$---------------------②
NB=OB-ON=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R--------------------③
則 ON=NB，△OBM是等腰三角形，則 r=2∠MON=2×30°=60°-------------④
透明體的折射率 n=$\frac{sinr}{sini}$-------------⑤
聯(lián)立①④⑤得：n=$\sqrt{3}$------------------⑥
（ii）由全反射臨界角公式得 sinC=$\frac{1}{n}$----------------------------------⑦

聯(lián)立⑥⑦得：sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$-----------------⑧
由OP′=RsinC-------------------------------⑨
聯(lián)立⑨⑩可得：OP′=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R-------------------------------⑩
故若要使折射光線消失則入射點到O點的距離應(yīng)滿足 R≥OP≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$R．
答：（i）透明體材料的折射率是$\sqrt{3}$；
（ii）若要使折射光線消失則入射點到O點的距離應(yīng)滿足條件的是：R≥OP≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$R．

點評 本題是幾何光學(xué)問題，畫面出光路圖是解題的基礎(chǔ)，運用折射定律和幾何知識的綜合研究．