Question

15．如圖所示，光滑的平行金屬導(dǎo)軌CD與EF間距為L=1m，與水平夾角為θ=30⁰，導(dǎo)軌上端用導(dǎo)線CE連接（導(dǎo)軌和連接線電阻不計），導(dǎo)軌處在磁感應(yīng)強度為B=0.2T、方向垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強磁場中．一根電阻為R=$\sqrt{2}$Ω的金屬棒MN兩端有導(dǎo)電小輪擱在兩導(dǎo)軌上，棒上有吸水裝置P．取沿導(dǎo)軌向下為x軸正方向，坐標原點在CE中點．開始時棒處在x=0位置（即與CE重合），棒的起始質(zhì)量不計．當棒開始吸水自靜止起下滑，質(zhì)量逐漸增大，設(shè)棒質(zhì)量的增大與位移x的平方根成正比，即m=k$\sqrt{x}$，其中k=0.01kg/m${\;}^{\frac{1}{2}}$．求：
（1）在金屬棒下滑1m位移的過程中，流過棒的電荷量是多少？
（2）猜測金屬棒下滑過程中做的是什么性質(zhì)的運動，并加以證明．
（3）當金屬棒下滑2m位移時電阻R上的電流有多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律求出電路中產(chǎn)生的平均感應(yīng)電流大小，即可求得流過棒的電荷量；
（2）通過分析受力情況，來分析金屬棒的運動情況：棒從靜止開始運動，首先可以確定棒開始階段做加速運動，然后通過受力分析，看看加速度可能如何變化，棒在下滑過程中沿導(dǎo)軌方向有向下的重力分力mgsinθ和向上的安培力F．由于m隨位移x增大而增大，所以，mgsinθ是一個變力；而安培力與速度有關(guān)，也隨位移增大而增大，如果兩個力的差值恒定，即合外力是恒力的話，棒有可能做勻加速運動． 假設(shè)棒做的是勻加速運動，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度的表達式，根據(jù)加速度，分析假設(shè)是否正確．
（3）根據(jù)第2問分析得知，棒做勻加速運動，將x=2m代入加速度的表達式，求出加速度，由運動學(xué)公式求解速度．

解答 解：（1）金屬棒下滑1 m過程中，流過棒的電量：$q=\frac{△φ}{R}=\frac{BxL}{R}=\frac{0.2×1×1}{{\sqrt{2}}}=0.1\sqrt{2}=0.14C$
（2）由于棒從靜止開始運動，因此首先可以確定棒開始階段做加速運動，然后通過受力分析，看看加速度可能如何變化，如圖所示，棒在下滑過程中沿導(dǎo)軌方向有向下的重力分力mgsinθ和向上的安培力F．由于m隨位移x增大而增大，所以，mgsinθ是一個變力；而安培力與速度有關(guān)，也隨位移增大而增大，如果兩個力的差值恒定，即合外力是恒力的話，棒有可能做勻加速運動．                                
假設(shè)棒做的是勻加速運動，且設(shè)下滑位移x時的加速度為a_x，根據(jù)牛頓第二定律，有mgsinθ-F=ma_x
而安培力；$F=BIL=B\frac{BLv}{R}L=\frac{{{B^2}{L^2}v}}{R}$
所以：$mgsinθ-\frac{{{B^2}{L^2}v}}{R}=m{a_x}$
假設(shè)棒做勻加速直線運動，則瞬時速度$v=\sqrt{2{a_x}x}$，由于$m=k\sqrt{x}$，代入后得：$k\sqrt{x}gsinθ-\frac{{{B^2}{L^2}\sqrt{2{a_x}x}}}{R}=k\sqrt{x}{a_x}$
$kgsinθ-\frac{{{B^2}{L^2}\sqrt{2{a_x}}}}{R}=k{a_x}$①
從上述方程可以看出a_x的解是一個定值，與位移x無關(guān)，這表明前面的假設(shè)成立，棒的運動確實是勻加速直線運動．若a_x與位移x有關(guān)，則說明a_x是一個變量，即前面的假設(shè)不成立．                                                               
（3）為了求棒下滑2 m時的速度，應(yīng)先求出棒的加速度．將題目給出的數(shù)據(jù)代①式得：
$0.01×10×\frac{1}{2}-\frac{{{{0.2}^2}×{1^2}×\sqrt{2a}}}{{\sqrt{2}}}=0.01a$
$a+4\sqrt{a}-5=0$
令$y=\sqrt{a}$，則y²+4y-5=0
解得y₁=1，y₂=-5（舍去）
即加速度a=y²=1m/s²
根據(jù)勻變速運動規(guī)律，$v=\sqrt{2{a_x}x}=\sqrt{2×1×2}=2m/s$
此時電阻R上的電流$I=\frac{BLv}{R}=\frac{0.2×1×2}{{\sqrt{2}}}=0.2\sqrt{2}=0.28A$
答：（1）在金屬棒下滑1m位移的過程中，流過棒的電荷量是0.14C
（2）棒的運動確實是勻加速直線運動，證明如上
（3）當金屬棒下滑2m位移時電阻R上的電流有0.28A

點評 本題中運用感應(yīng)電荷量公式q=$\frac{△∅}{R}$求解電量．通過先猜測，再進行證明，確定導(dǎo)體棒的運動情況，體現(xiàn)了科學(xué)研究常用的思路．