14.為了研究過山車的原理,某物理小組提出了下列的設(shè)想:取一個與水平方向夾角為θ=53°,長為L1=7.5m的傾斜軌道AB,通過微小圓弧與足夠長的光滑水平軌道BC相連,然后在C處連接一個豎直的光滑圓軌道.如圖所示.高為h=0.8m光滑的平臺上有一根輕質(zhì)彈簧,一端被固定在左面的墻上,另一端通過一個可視為質(zhì)點的質(zhì)量m=1kg的小球緊壓彈簧,現(xiàn)由靜止釋放小球,物塊離開臺面時已離開彈簧,到達A點時速度方向恰沿AB方向,并沿傾斜軌道滑下.已知小物塊與AB間的動摩擦因數(shù)為μ=0.5.g取10m/s2,sin53°=0.8.求:
(1)彈簧被壓縮時的彈性勢能;
(2)小球到達C點時速度vC的大。
(3)小球浸入圓軌道后,要使小球不脫離軌道,則豎直圓弧軌道的半徑R應(yīng)該滿足什么條件.

分析 (1)根據(jù)小球在A點的速度方向,由平拋運動規(guī)律根據(jù)豎直高度得到豎直分速度,從而得到離開平臺時的速度,然后對小球在平臺上的運動應(yīng)用動能定理即可求解;
(2)對小球從A到C應(yīng)用動能定理求解;
(3)通過小球不脫離軌道得到小球的運動狀況,然后應(yīng)用機械能守恒求解.

解答 解:(1)小球離開臺面到達A點的過程做平拋運動,故有:${v}_{0}=\frac{{v}_{y}}{tanθ}=\frac{\sqrt{2gh}}{tanθ}=3m/s$,
小球在平臺上運動,只有彈簧彈力做功,故由動能定理可得:彈簧被壓縮時的彈性勢能為:${E}_{p}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=4.5J$;
(2)小球在A處的速度為:${v}_{A}=\frac{{v}_{0}}{cosθ}=5m/s$;小球從A到C的運動過程只有重力、摩擦力做功,故由動能定理可得:
$mg{L}_{1}sinθ-μmg{L}_{1}cosθ=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$
解得:${v}_{C}=\sqrt{{{v}_{A}}^{2}+2g{L}_{1}(sinθ-μcosθ)}=10m/s$;
(3)小球進入圓軌道后,要使小球不脫離軌道,即小球能通過圓軌道最高點,或小球能在圓軌道上到達的最大高度小于半徑;
那么對小球能通過最高點時,在最高點應(yīng)用牛頓第二定律可得:$mg≤\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{R}$;
對小球從C到最高點應(yīng)用機械能守恒可得:$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}≥\frac{5}{2}mgR$
解得:$0<R≤\frac{{{v}_{C}}^{2}}{5g}=2m$;
對小球能在圓軌道上到達的最大高度小于半徑的情況應(yīng)用機械能守恒可得:$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=mgh≤mgR$
解得:$R≥\frac{{{v}_{C}}^{2}}{2g}=5m$;
故小球進入圓軌道后,要使小球不脫離軌道,則豎直圓弧軌道的半徑R≥5m或0<R≤2m;
答:(1)彈簧被壓縮時的彈性勢能為4.5J;
(2)小球到達C點時速度vC的大小為10m/s;
(3)小球進入圓軌道后,要使小球不脫離軌道,則豎直圓弧軌道的半徑R≥5m或0<R≤2m.

點評 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對物體進行受力分析,求得合外力及運動過程做功情況,然后根據(jù)牛頓定律、動能定理及幾何關(guān)系求解.

練習(xí)冊系列答案
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B.外界對氣缸內(nèi)氣體做功,氣體內(nèi)能增大
C.氣缸內(nèi)氣體對外界做功,并從外界吸收熱量,內(nèi)能減小
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