Question

16．如圖甲所示，在某空間區(qū)域內(nèi)存在隨時聞周期性變化的勻強電場和勻強磁場，變化規(guī)律分別如圖乙、丙所示，電場方向沿x軸正方向，取垂直紙面向里為磁感應(yīng)強度的正方向．在t=0時刻由原點O發(fā)射初速受大小為v₀．方向沿x軸正方向的帶正電粒子（不計重力）．其中已知v₀、t₀、B₀，且E=$\frac{{B}_{0}{v}_{0}}{2π}$，粒子的比荷$\frac{q}{m}$=$\frac{π}{{B}_{0}{t}_{0}}$，y軸上有一點A，坐標(biāo)為（0，-$\frac{24{v}_{0}{t}_{0}}{π}$）．求：

（1）$\frac{{t}_{0}}{2}$時帶電粒子的位置坐標(biāo)．
（2）粒子運動過程中偏離y軸的最大距離．
（3）粒子經(jīng)多長時間經(jīng)過A點．

Answer 1

分析 （1）0-t₀時間內(nèi)做勻速圓周運動，粒子在磁場中運動的周期T=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$=2t₀，在0～$\frac{{t}_{0}}{2}$內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角α=$\frac{π}{2}$，根據(jù)牛頓第二定律求解$\frac{{t}_{0}}{2}$時帶電粒子的位置坐標(biāo)．
（2）作出粒子的運動軌跡．根據(jù)電子在電場中做勻變速直線運動，由速度公式和位移公式結(jié)合求解粒子運動過程中偏離y軸的最大距離．
（3）每個4t₀內(nèi)粒子在y軸負(fù)方向移動距離 d=2r₁+2r₂，再由運動學(xué)公式求解時間．

解答 解：（1）粒子在磁場中運動的周期T=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$=2t₀
則在0～$\frac{{t}_{0}}{2}$內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角α=$\frac{π}{2}$
由qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$
得r₁=$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{π}$
$\frac{{t}_{0}}{2}$時粒子的位置坐標(biāo)為（$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{π}$，-$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{π}$）
（2）粒子運動軌跡如圖所示，經(jīng)電場減速后的速度為v，則
 v=v₀-$\frac{q{E}_{0}}{m}{t}_{0}$=$\frac{{v}_{0}}{2}$
運動的位移 s=$\frac{v+{v}_{0}}{2}{t}_{0}$=0.75v₀t₀
在2t₀到3t₀粒子做勻速圓周運動，半徑r₂=$\frac{{r}_{1}}{2}$=$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{2π}$
故粒子偏離y軸的最大距離h=s+r₂=0.75v₀t₀+$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{2π}$
（3）每個4t₀內(nèi)粒子在y軸負(fù)方向移動距離 d=2r₁+2r₂=$\frac{2{v}_{0}{t}_{0}}{π}$
經(jīng)過A點時間 t=$\frac{\frac{24{v}_{0}{t}_{0}}{π}}ymy2iqa$×4t₀=32t₀
答：（1）$\frac{{t}_{0}}{2}$時帶電粒子的位置坐標(biāo)是（$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{π}$，-$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{π}$）．
（2）粒子運動過程中偏離y軸的最大距離是0.75v₀t₀+$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{2π}$．
（3）粒子經(jīng)32t₀時間經(jīng)過A點．

點評 該題考查了帶電粒子在方向隨時間作周期性變化的磁場中運動的問題，此題不但要求學(xué)生要熟練的應(yīng)用帶電粒子在勻強磁場中做圓周運動的軌道半徑公式和周期公式，還要求要有較強的對物體運動的分析能力，該題關(guān)鍵是找出磁場變化的周期和粒子圓周運動的周期的關(guān)系．正確的繪制出粒子的軌跡圖，對解決問題有非常大的幫助．