Question

16．如圖甲所示，在某空間區(qū)域內(nèi)存在隨時(shí)聞周期性變化的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，變化規(guī)律分別如圖乙、丙所示，電場(chǎng)方向沿x軸正方向，取垂直紙面向里為磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向．在t=0時(shí)刻由原點(diǎn)O發(fā)射初速受大小為v₀．方向沿x軸正方向的帶正電粒子（不計(jì)重力）．其中已知v₀、t₀、B₀，且E=$\frac{{B}_{0}{v}_{0}}{2π}$，粒子的比荷$\frac{q}{m}$=$\frac{π}{{B}_{0}{t}_{0}}$，y軸上有一點(diǎn)A，坐標(biāo)為（0，-$\frac{24{v}_{0}{t}_{0}}{π}$）．求：

（1）$\frac{{t}_{0}}{2}$時(shí)帶電粒子的位置坐標(biāo)．
（2）粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中偏離y軸的最大距離．
（3）粒子經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間經(jīng)過(guò)A點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）0-t₀時(shí)間內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期T=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$=2t₀，在0～$\frac{{t}_{0}}{2}$內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角α=$\frac{π}{2}$，根據(jù)牛頓第二定律求解$\frac{{t}_{0}}{2}$時(shí)帶電粒子的位置坐標(biāo)．
（2）作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡．根據(jù)電子在電場(chǎng)中做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，由速度公式和位移公式結(jié)合求解粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中偏離y軸的最大距離．
（3）每個(gè)4t₀內(nèi)粒子在y軸負(fù)方向移動(dòng)距離 d=2r₁+2r₂，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期T=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$=2t₀
則在0～$\frac{{t}_{0}}{2}$內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角α=$\frac{π}{2}$
由qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$
得r₁=$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{π}$
$\frac{{t}_{0}}{2}$時(shí)粒子的位置坐標(biāo)為（$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{π}$，-$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{π}$）
（2）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，經(jīng)電場(chǎng)減速后的速度為v，則
 v=v₀-$\frac{q{E}_{0}}{m}{t}_{0}$=$\frac{{v}_{0}}{2}$
運(yùn)動(dòng)的位移 s=$\frac{v+{v}_{0}}{2}{t}_{0}$=0.75v₀t₀
在2t₀到3t₀粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑r₂=$\frac{{r}_{1}}{2}$=$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{2π}$
故粒子偏離y軸的最大距離h=s+r₂=0.75v₀t₀+$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{2π}$
（3）每個(gè)4t₀內(nèi)粒子在y軸負(fù)方向移動(dòng)距離 d=2r₁+2r₂=$\frac{2{v}_{0}{t}_{0}}{π}$
經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)間 t=$\frac{\frac{24{v}_{0}{t}_{0}}{π}}eamgiqq$×4t₀=32t₀
答：（1）$\frac{{t}_{0}}{2}$時(shí)帶電粒子的位置坐標(biāo)是（$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{π}$，-$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{π}$）．
（2）粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中偏離y軸的最大距離是0.75v₀t₀+$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{2π}$．
（3）粒子經(jīng)32t₀時(shí)間經(jīng)過(guò)A點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 該題考查了帶電粒子在方向隨時(shí)間作周期性變化的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，此題不但要求學(xué)生要熟練的應(yīng)用帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑公式和周期公式，還要求要有較強(qiáng)的對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的分析能力，該題關(guān)鍵是找出磁場(chǎng)變化的周期和粒子圓周運(yùn)動(dòng)的周期的關(guān)系．正確的繪制出粒子的軌跡圖，對(duì)解決問(wèn)題有非常大的幫助．