Question

14．如圖所示，在豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xOy，該平面內(nèi)有AM、BM、CM三條光滑固定軌道，其中A、C兩點(diǎn)處于同一個(gè)圓上，C是圓上任意一點(diǎn)，A、M分別為此圓與y、x軸的切點(diǎn)．B點(diǎn)在y軸上且∠BMO=60°，O′為圓心．現(xiàn)將a、b、c三個(gè)小球分別從A、B、C點(diǎn)同時(shí)由靜止釋放，它們將沿軌道運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，如所用時(shí)間分別為t_A、t_B、t_C，則t_A、t_B、t_C大小關(guān)系是（　　）

• A． t_A＜t_C＜t_B
• B． t_A=t_C=t_B
• C． t_A=t_C＜t_B
• D． 由于C點(diǎn)的位置不確定，無法比較時(shí)間大小關(guān)系

Answer 1

分析 根據(jù)幾何關(guān)系分別求出各個(gè)軌道的位移，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，再根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間公式求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而比較出到達(dá)M點(diǎn)的先后順序．

解答 解：設(shè)⊙O′的半徑為R，根據(jù)幾何知識(shí)可知，OA=OM=R，
由勾股定理得，AM=$\sqrt{O{A}^{2}+O{M}^{2}}$=$\sqrt{2}$R，
即小球沿AM運(yùn)動(dòng)的位移x_A=$\sqrt{2}$R，
由牛頓第二定律得，mgsin45°=ma_A，
解得：a_A=$\frac{\sqrt{2}}{2}$g，
由x=$\frac{1}{2}$at²得，小球沿AM運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：
t_A=$\sqrt{\frac{2{x}_{A}}{{a}_{A}}}$=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
根據(jù)幾何知識(shí)可知，BM=2OM=2R，
即小球沿BM運(yùn)動(dòng)的位移x_B=2R，
由牛頓第二定律得，mgsin60°=ma_B，
解得：a_B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$g，
小球沿BM運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：
t_B=$\sqrt{\frac{2{x}_{B}}{{a}_{B}}}$=$\sqrt{\frac{8R}{\sqrt{3}g}}$，
設(shè)CM與x軸正向的夾角為θ，由幾何關(guān)系可知，CM=2Rsinθ，
即小球沿CM運(yùn)動(dòng)的位移x_C=2Rsinθ，
由牛頓第二定律得，mgsinθ=ma_C，
解得：a_C=gsinθ，
小球沿CM運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：
t_C=$\sqrt{\frac{2{x}_{C}}{{a}_{C}}}$=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
則t_A、t_B、t_C大小關(guān)系是：t_A=t_C＜t_B．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵充分利用幾何關(guān)系得出每一段的位移，熟練運(yùn)用牛頓第二定律和勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間公式即可正確解題，有一定的難度．