Question

15．在科學研究中常用電場和磁場來控制帶電粒子的運動，如圖甲所示是一種電荷擴束裝置，它由粒子源、加速電場、擴束電場組成，其工作原理可簡化為如下過程：粒子源產(chǎn)生的同種帶正電粒子（粒子重力忽略不計）經(jīng)加速電場加速后，以速度v₀連續(xù)不斷地沿平行金屬板A和B的方向從兩極板正中央射入勻強擴束電場，已知金屬板長為L，相距為d．

（1）當兩板電壓U₁=U₀時，粒子恰好打在下極板B的中點，求帶電粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）若AB間加如圖乙所示的方波形，其周期T=$\frac{L}{{v}_{0}}$，從t=0開始，前$\frac{T}{3}$內(nèi)U_AB=$\frac{{U}_{0}}{2}$，后$\frac{2T}{3}$內(nèi)U_AB=-$\frac{{U}_{0}}{4}$，上述粒子仍然以速度v₀沿原來方向持續(xù)射入電場，求射出電場時粒子束的寬度D；
（3）若緊貼極板右側(cè)建立xOy坐標系，O點為極板右側(cè)的中點，在坐標系的第Ⅰ、Ⅳ象限某區(qū)域內(nèi)存在一個圓形的勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直于xOy坐標平面，要使從最下方射出的粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后經(jīng)過坐標為（2d，2d）的P點，求磁感應(yīng)強度B的最大值．

Answer 1

分析 （1）粒子在板中做類平拋運動，水平方向不受力做勻速直線運動，豎直方向在電場力作用下做初速度為零的勻加速直線運動，根據(jù)類平拋運動知識求解即可；
（2）根據(jù)粒子在電場方向做勻變速直線運動的規(guī)律，可分析出粒子經(jīng)過一個周期，在豎直方向速度的變化為零，作出粒子在不同時刻進入偏專磁場豎直方向速度隨時間變化的圖象，根據(jù)圖象得出偏轉(zhuǎn)最大時粒子進入磁場時間，再根據(jù)類平拋運動求解相關(guān)結(jié)論即可．
（3）因為粒子在電場中偏轉(zhuǎn)時，豎直方向的速度變化量為零，故粒子最終都水平方向離開電場，離開電場后粒子進入磁場做勻速圓周運動經(jīng)過P點，根據(jù)題意作出最下方粒子運動軌跡，根據(jù)軌跡求得粒子圓周運動的半徑，由洛倫茲力提供圓周運動向心力求得磁感應(yīng)強度B的大�。�

解答 解：（1）設(shè)粒子經(jīng)過時間t₀打在B板中點，
沿極板方向有：$\frac{L}{2}={v}_{0}{t}_{0}$…①
垂直極板方向有：$\frac{1}{2}d=\frac{q{U}_{0}}{2md}{t}_{0}^{2}$…=②
解得：$\frac{q}{m}=\frac{4sn6khcn^{2}{v}_{0}^{2}}{{U}_{0}{L}^{2}}$…③
（2）沿極板方向粒子做勻速直線運動，粒子通過兩板時間：
$t=\frac{L}{{v}_{0}}=T$…④
在任一時刻射入的粒子都要在$\frac{{U}_{0}}{2}$的電壓下加速$\frac{T}{3}$，在$\frac{-{U}_{0}}{4}$的電壓下加速$\frac{2T}{3}$，粒子射出電場時沿電場方向上的速度v_y=0，因此射出電場粒子的速度與極板平行，大小仍為v₀．…=⑤
不同時刻從O₁點進入電場的粒子在電場方向的速度v_y隨時間t變化的關(guān)系如圖所示．

可以確定在t=nT時刻進入電場的粒子射出時向下的偏距最大，$t=nT+\frac{1}{3}T$ 時刻進入電場的粒子射出時向上的偏距最大，并且向上向下的最大偏距大小相等．
${y}_{max}=\overline{{v}_{y}}T$…⑥
$\overline{{v}_{y}}=\frac{{U}_{0}q}{4dm}g\frac{T}{3}$⑦
射出電場時粒子束的寬度D=2y_max…⑧
解得：$D=\frac{2}{3}d$…⑨
（3）所有粒子射出電場時速度方向都平行于x軸，大小為v₀．
如圖：

當從最下方射出的粒子沿圖中虛線所示的路徑經(jīng)過P點時，磁場區(qū)半徑最小，并且有：
$2{r}_{min}=2d+\fraccl4ofiz{3}$…⑩
設(shè)粒子在磁場中的運動半徑為r，則：$q{v}_{0}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$…⑪
由⑩、⑪兩式可以解得磁感應(yīng)強度有最大值：${B}_{max}=\frac{6m{v}_{0}}{7dq}$=$\frac{3{U}_{0}{L}^{2}}{14{v}_{0}jbc3fve^{3}}$…⑫
答：（1）帶電粒子的比荷為$\frac{4nrnwy1y^{2}{v}_{0}^{2}}{{U}_{0}{L}^{2}}$
（2）射出電場時粒子束的寬度為$\frac{2}{3}d$
（3）磁感應(yīng)強度B的最大值為$\frac{3{U}_{0}{L}^{2}}{14{v}_{0}olyoqz8^{3}}$．

點評 本題的難點是分析帶電粒子的運動情況，電荷在電場中的偏轉(zhuǎn)做類平拋運動，關(guān)鍵是運動的合成與分解；電荷在勻強磁場中做勻速圓周運動，關(guān)鍵是畫出軌跡，由幾何知識求出半徑