Question

8．如圖所示是真空中內徑為R、外徑為2R的空心玻璃柱體的橫截面，空心部分為真空，一束在橫截面內的單色平行光射向柱體外表面，其折射光線恰好未射入柱體空心部分，已知玻璃對該單色光的折射率為n=$\sqrt{3}$，求：
（1）單色光射向柱體外表面的入射角；
（2）光在玻璃中傳播的時間（已知真空中光速為c，不考慮多次反射）．

Answer 1

分析 （1）由題意畫出光路圖，折射光線恰好未射入柱體空心部分，恰好發(fā)生了全反射，入射角等于臨界角C．光線進入柱體外表面時由折射定律列式．由臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$和幾何關系確定折射角，則可求得折射角．
（2）由幾何關系求出光在玻璃中傳播的距離，由v=$\frac{c}{n}$求出光在玻璃中傳播的速度，從而求得光在玻璃中傳播的時間．

解答 解：由題意畫出光路圖如圖．
光線進入柱體外表面時，由折射定律，有：n=$\frac{sini}{sinr}$
其折射光線恰好未射入柱體空心部分，恰好發(fā)生了全反射，入射角等于臨界角C．則有：sinC=$\frac{1}{n}$
由正弦定理可得：$\frac{R}{sinr}$=$\frac{2R}{sin（180°-C）}$
聯(lián)立解得：sini=0.5，i=30°
即單色光射向柱體外表面的入射角為30°．
（2）設光在玻璃中傳播的距離為S．由正弦定理有：$\frac{0.5S}{sin（C-r）}$=$\frac{2R}{sin（180°-C）}$     
結合n=$\frac{sini}{sinr}$得 sinr=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，則有：cosr=$\sqrt{1-si{n}^{2}r}$=$\sqrt{\frac{11}{12}}$
sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}$
聯(lián)立解得 S=$\frac{2（\sqrt{33}-\sqrt{6}）R}{3}$
光在玻璃中傳播的速度為 v=$\frac{c}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c
所以光在玻璃中傳播的時間為 t=$\frac{S}{v}$=$\frac{2（\sqrt{11}-\sqrt{2}）R}{c}$
答：（1）單色光射向柱體外表面的入射角是30°；
（2）光在玻璃中傳播的時間是$\frac{2（\sqrt{11}-\sqrt{2}）R}{c}$．

點評 本題是折射定律的應用，關鍵是畫出光路圖，運用幾何知識研究角度關系，同時要掌握全反射的條件．