Question

11．如圖所示，在矩形區(qū)域CDNM內(nèi)有沿紙面向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)的大小E=1.5×10⁵N/C；在矩形區(qū)域MNGF內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小 B=0.2T．已知CD=MN=FG=0.6m，CM=MF=0.20m．在CD邊中點(diǎn)O處有一放射源，沿紙面向電場(chǎng)中各方向均勻地輻射出速率均為v₀=1.0×10⁶m/s的某種帶正電粒子，粒子質(zhì)量 m=6.4×10^-27kg，電荷量q=3.2×10^-19C，粒子可以無(wú)阻礙地通過(guò)邊界MN進(jìn)入磁場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力．求：
（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；
（2）邊界FG上有粒子射出磁場(chǎng)的范圍長(zhǎng)度；
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子先經(jīng)電場(chǎng)加速，再進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．先由動(dòng)能定理粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，由牛頓第二定律求在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；
（2）粒子垂直于電場(chǎng)方向射入電場(chǎng)中的粒子在該方向的位移最大，通過(guò)磁場(chǎng)后打在邊界FG上最左端．垂直于MN射入的粒子，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后軌跡恰好與邊界FG相切，切點(diǎn)就是粒子能射出磁場(chǎng)的最右端．畫出兩種情況下粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡．
先研究粒子在電場(chǎng)中類平拋運(yùn)動(dòng)的過(guò)程：運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式相結(jié)合求出粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度方向與電場(chǎng)方向的夾角，以及垂直于電場(chǎng)方向的位移．根據(jù)幾何知識(shí)求邊界FG上有粒子射出磁場(chǎng)的范圍長(zhǎng)度；
（3）粒子在磁場(chǎng)中軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最大時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)．垂直于MN射入的粒子的軌跡與邊界FG相切時(shí)，圓心角最大，時(shí)間最長(zhǎng)，由數(shù)學(xué)知識(shí)求出圓心角，即可求最長(zhǎng)時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，由動(dòng)能定理得：
$qEd=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_0^2$，
帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，則有：
$qvB=m\frac{v^2}{r}$，
解得：r=$\frac{mv}{qB}$=0.2m；
（2）粒子垂直于電場(chǎng)方向射入電場(chǎng)中的粒子在該方向的位移最大，通過(guò)磁場(chǎng)后打在邊界FG上最左端．設(shè)該粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)，速度方向與電場(chǎng)方向的夾角為θ₁，該粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度大小為：
$a=\frac{qE}{m}$，
沿電場(chǎng)方向的位移：${y_1}=\frac{1}{2}a{t^2}=d$，
垂直電場(chǎng)方向的位移：x₁=v₀t=$\frac{{2\sqrt{3}}}{15}m$，
離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)：$sin{θ_1}=\frac{v_0}{v}$，
解得：θ₁=30°，
因?yàn)椋簒₁+r（1-cos30°）＜0.30m，
粒子從S點(diǎn)射入磁場(chǎng)，偏轉(zhuǎn)后從邊界FG射出時(shí)的位置P即通過(guò)范圍的左邊界，且PS⊥MN，垂直MN射入磁場(chǎng)的粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰好與邊界FG相切，切點(diǎn)Q是通過(guò)范圍的右邊界．則帶電粒子從邊界FG射出磁場(chǎng)時(shí)通過(guò)的范圍長(zhǎng)度為：
l=x₁+r≈0.43m，
（3）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$=6.28×10^-7s，
帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其中沿O′QR運(yùn)動(dòng)的軌跡最長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，
$sin{θ_2}=\frac{{\frac{L}{2}-r}}{r}=\frac{1}{2}$，
解得：θ₂=30°，
帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大圓心角為120°，對(duì)應(yīng)的最長(zhǎng)時(shí)間為：
${t_{max}}=\frac{1}{3}T=\frac{2πm}{3qB}$=2.09×10^-7s；
答：（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是0.2m；
（2）邊界FG上有粒子射出磁場(chǎng)的范圍長(zhǎng)度是0.43m；
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間是2.09×10^-7s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)能定理、牛頓第二定律，及類平拋運(yùn)動(dòng)處理規(guī)律，讓學(xué)生熟練掌握它們的解題思路與方法．注意粒子進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，恰好做類平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)偏轉(zhuǎn)位移最大，磁場(chǎng)中畫出軌跡，確定邊界范圍，由幾何知識(shí)求邊界的長(zhǎng)度．