Question

12．人類第一次登上月球時，宇航員在月球表面做了一個實驗：將一片羽毛和一個鐵錘從同一個高度由靜止同時釋放，二者幾乎同時落地．若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經(jīng)時間t落到月球表面．已知引力常量為G，月球的半徑為R．
（1）求月球表面的自由落體加速度大小g_月；
（2）若不考慮月球自轉的影響，求月球的質(zhì)量M和月球的“第一宇宙速度”大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體的位移時間規(guī)律可以直接求出月球表面的重力加速度；　
（2）根據(jù)月球表面重力和萬有引力相等，利用求出的重力加速度和月球半徑可以求出月球的質(zhì)量M；　
飛行器近月飛行時，飛行器所受月球萬有引力提供月球的向心力，從而求出“第一宇宙速度”大�。�

解答 解：（1）月球表面附近的物體做自由落體運動 $h=\frac{1}{2}{g_月}{t^2}$
月球表面的自由落體加速度大小 ${g_月}=\frac{2h}{t^2}$
（2）a．若不考慮月球自轉的影響 $G\frac{Mm}{R^2}=m{g_月}$
月球的質(zhì)量 $M=\frac{{2h{R^2}}}{{G{t^2}}}$
b．質(zhì)量為m'的飛行器在月球表面附近繞月球做勻速圓周運動$m'{g_月}=m'\frac{v^2}{R}$
月球的“第一宇宙速度”大小 $v=\sqrt{{g_月}R}=\frac{{\sqrt{2hR}}}{t}$
答：（1）求月球表面的自由落體加速度大小為$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
（2）月球的質(zhì)量為$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$；月球的“第一宇宙速度”大小為$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$．

點評 結合自由落體運動規(guī)律求月球表面的重力加速度，根據(jù)萬有引力與重力相等和萬有引力提供圓周運動向心力求解中心天體質(zhì)量和近月飛行的速度v．